文档介绍：第 4 讲完备性与纲定理
教学目的:掌握完备空间的概念,完备空间的基本性质并认识完备
性在分析中的重要意义。
授课要点:
1、完备性的定义和常见空间的完备性。
2、完备空间的基本性质。
3、纲的概念及初步应用。
4、完备化定理:任何度量空间都可以完备化。
在实数理论中我们知道著名的 Cauchy 准则,即实数序列是收敛的当且仅当它是满足
Cauchy
量空间也有序列的收敛概念,那么是否也有相应的 Cauchy 准则呢? 实际上只须看一下有理
数域 Q 的情况,其中的 Cauchy 序列不一定都收敛于 Q 中的元,所以 Cauchy 准则对于 Q 并
,而在于空间中的点“不够多”,
以至于存在“孔洞”.
定义 1 设(X ,d) 是度量空间, xn ∈ X , n ≥1.
(1)若 lim d(xm , xn ) = 0 ,称{xn }为 Cauchy 序列.
m,n→∞
(2)若 X 中的每个 Cauchy 序列{xn }是收敛序列,即∃x ∈ X ,使得 limd(xn , x) = 0 ,
n→∞
则称 X 是完备的.
由三角不等式容易得出每个收敛序列一定是 Cauchy 序列,反之却未必.
完备的线性赋范空间称为 Banach 空间,完备的内积空间称为 Hilbert 空间.
例 1 空间 P[a,b]不完备.
P[a,b]是区间[a,b] 上实(或复) p ∈ P[a,b],定义
|| p ||= max | p(t) | .
a≤t≤b
由定义可直接验证, P[a,b]是线性赋范空间,但 P[a,b]
t t n
p (t) =1+ +
+ ,
n 1! n!
显然 pn ∈ P[a,b] . 若记 c = max{| a |,| b |},则∀m > n ,
|| pm − pn ||= max | pm (t) − pn (t) |
a≤t≤b
m t i m t i
= max≤ max
a≤t≤b ∑∑ a≤t≤b
i=n+1 i! i=n+1 i!
m ci
≤→≥→∞∑ 0,mn .
in=+1 i!
故 pn 是 Cauchy 序列.
我们知道
∞ iim
t tc
max |ptn ( )− e |=≤→→∞ max 0, n .
aib≤≤ aib ≤≤∑∑
in=+11ii!! in =+
但 et ∈ P[a,b].同时注意到, P[a,b] 上的范数收敛相当于在[a,b] 上的一致收敛,从而点点
, pn 不可能有其他极限,故 P[a,b]不完备.
例 2 C[a,b ]完备.
设{xn }是 C[a,b] 中的 Cauchy 序列.∀ε> 0 ,存在 n0 ,当 m,n ≥ n0 时,|| xm − xn ||<
时∀t ∈[a,b] ,
| xm (t) − xn (t) |≤|| xm − xn ||< ε, (1)
于是{xn (t)}是 Cauchy ∀∈tab[,]有 x0 (t) 使得
xn (t) → x0 (t) .
在不等式(1)中固定 n ,令 m →∞,则得到
| x0 (t) − xn (t) |≤ε, t ∈[a,b]. (2)
现在取 n ≥ n0 ,由 xn (t) 在[a,b] 上的连续性,取δ> 0 ,使得| t1 − t2 |< δ时
| xn (t1 ) − xn (t2 ) |< ε,则
|xt01 ( )− xt 02 ( )|≤−+−+ | xt 01 ( ) xtnnnn ( 1 )| | xt ( 1 ) xt ( 2 )| | xt ( 2 ) −< xt 02 ( )| 3ε.
故 x0 连续,即 x0 ∈C[a,b] .不等式(2)中的不等式关于 tab∈[,]是一致的,这说明
|| xn − x0 ||≤ε,
从而以 C[a,b] 中的范数 lim xn = x0 .
n→∞
C[a,b] 是完备的.
例 3 Lp (1≤ p < ∞) 完备.
p
设{ f n } 是 L 中的 Cauchy 序列. ∀ε> 0 ,存在 n0 ,使得当 mn, ≥ n0 时
p
|| f − f || p = | f