文档介绍：第 11 讲开映射与闭图像定理
教学目的
掌握开映射定理与闭图象定理的内容并初步学会其应
用。
授课要点
1、开映射定理的条件、结论与证明思路。
2、闭图象定理的条件、结论与证明思路。
3、通过例子初步掌握其应用。
设 X ,Y 是线性赋范空间,T : X → Y 是线性算子. 我们曾经说过,若T 是一一的,则
T −1 : R(T) → X 是线性算子,这里 R(T) 是 T 的值空间. 此时对于每个 y ∈ R(T ) ,算子方程
Tx = y 有唯一解存在, x = T −1 y. 若T 是到上的,则 R(T ) = Y, 此时T −1 在整个空间Y 上有定
义, T −1T = I 是 X 上的恒等算子. 若问在算子方程中 y 的微小变动是否引起 x 的变动也是微
小的,这是由T −1 的连续性决定的. 在微分方程理论中,存在性、惟一性和解对所给数据的
连续依赖性统称为适定问题. 这一问题与开映射定理有关. 另外容易知道,当T 是一一的线
性映射时,T 是开算子恰恰相当于T −1 是连续算子(见第一章第 3 讲定理 4).
定义 1 设T : X → Y 是线性算子. 若T 将 X 中的每个开集映射为Y 中的开集,称T 为
开算子(开映射).
引理 1 设 X ,Y 是线性赋范空间,线性算子T : X → Y 是开算子当且仅当对于 0∈ X 的
每个邻域 O(0. r),T (O(0. r)) 包含 0 ∈Y 的邻域.
证明若T 是开算子,O(0. r) 是 0∈ X 的邻域,则T (O(0. r)) 0 = 0 ,从
而T (O(0. r)) 是 0 ∈Y 的邻域.
反之,若T 具有所说的性质, A 是 X 中任一开集,我们证明T(A) 是Y 中的开集. 对于
每个 y ∈T (A) ),设 y = Tx, x ∈ A, 则存在 r > 0, O(x, r) ⊂ A. 此时 O(x, r) − x = O(0, r) 是 0∈ X
的邻域,于是由所说的性质T())O(x. r)) − Tx = T (O(0. r 包含 0 ∈Y 的邻域. 从而
T())O(x. r)) = Tx + T (O(0. r 包含Tx 的邻域. 显然T (O(x. r)) ⊂ T (A) ,所以 y 是T(A) 的内点. y
是任意的,故T(A) 为开集,T 为开算子.
定理 1 (开映射定理) 设 X 是 Banach 空间, Y 是线性赋范空间, T : X → Y 是有界线
性算子并且 R(T) 是Y 中的第二纲集,则T 必是开算子并且是到上的.
特别地,从 Banach 空间到 Banach 空间上的有界线性算子是开算子.
证明 1°我们知道,对于线性赋范空间的任意子集 A, B, A + B ⊂ A + B . 现在设
1
U = {x ∈ X ; x < 1}, U = {x ∈ X ; x < }
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容易验证 U 1 + U 1 ⊂ U , − U 1 = U 1 . 由于T 的连续性
T(U 1 ) − T(U 1 ) = T(U 1 ) + T(U 1 ) ⊂ T(U 1 ) + T(U 1 )