文档介绍：第 17 讲共轭算子与紧算子
教学目的
掌握共轭算子与紧算子的概念和基本性质。
授课要点
1 共轭算子的生成以及与原算子的对偶性。
2 紧算子的属性及常见紧算子的例。
赋范空间有共轭空间,同样地有界算子有共轭算子. 让我们先看下面定义.
定义 1 设 X ,Y 是线性赋范空间, X ∗,Y ∗分别是 X 与 Y 的共轭空间,
T ∈B()X ,Y .若线性算子TY∗∗: → X ∗满足
()Ty∗∗( x)()= y ∗ Tx, ∀∈x X ∗, ∀yY∈∗
则称T ∗是T 的共轭算子.
有时我们记 f ()xxf= (, ),则上式可以写成
()Tx,, y∗∗∗= ( x T y ) . (1)
定理 1 设 X ,Y 是线性赋范空间,T ∈B( XY, ) ,则
(1) T ∗存在并且惟一,
(2) TT∗= .
证明 1° 对于每个 yY*∈∗,记 lx( ) = ( Txy, ∗) , l 是 X 上的线性泛函,并且
lx()=≤() Txy, ∗∗ y Tx≤ yTx∗, ∀x ∈ X
所以
lyT≤∗ 3
, ()
这说明 lX∈∗. 显然l 与 y∗有关,记为Ty∗∗,则T ∗是YX∗→∗的算子. 由定义知道
(x,,Ty∗∗) == lx( ) ( Txy ∗) , ∀xX∈, yY∗∈∗
直接验证可知T ∗是线性算子. 上式表明T ∗是T 的共轭算子.
∗∗∗
若T1 也是T 的共轭算子,则∀∈xX, yY∈,
∗∗∗∗∗
()x,,,,Ty==( Txy) ( xTy1 )
∗∗∗∗∗∗∗
由 x 的任意性知Ty= Ty1 ,由 y 的任意性知TT= 1 .
2° 由()3 式, ∀ yY∗∗∈,
Ty∗∗=≤ l y ∗ T,
故 TT∗≤.
∗∗∗∗∗
∀∈xX,若Tx ≠ 0 ,则存在 yY0 ∈, y0 = 1, Ty0 = Tx,于是
∗∗∗∗
Tx=≤() x,, T y00 T y x
若Tx = 0 ,此式自然成立. 故
∗∗∗∗∗
TTy≤≤0 sup TyT = .
y∗≤1
总之, TT∗= .
由 2°还可以知道,若令σ*(TT )= *,则σ(TTT) ==∗. 例行的验证表明σ是
线性映射,所以σ是从 B()XY, 到 B(YX∗, ∗) 的子空间上的等距同构.
nm n m
例 1 设T : Φ→Φ是有界线性算子,ee1,,
n 是Φ的一组基,µ1,,
µm 是Φ的
一组基, 在基底与之下对应的矩阵为,即
T ee1,,
n µ1,,
µm (aij )
m
, . (2)
Teiikk= ∑ a µ (in=1,
, )
k =1
令 Yk = span {,eee111
,kk−+ , , , e n }, 则Yk 是闭子空间,eYkk∉. 由 Hahn-Banach 定理,
∗
存在∗ n , ∗. 必要时乘上一个不为的常数,可设∗,
ek ∈Φ( ) eekk( )(=≠ deY kk,0 ) 0 eekk()=1
∗∗∗