文档介绍：第 23 讲紧算子的谱论

教学目的:掌握紧算子谱的特征。
讲解要点:
1 紧算子谱的特征。
2 紧算子构成的算子方程与共轭算子构成的算子方
程解的关系。Freidholm 择一定理。

紧算子是一大类有界线性算子, 线性代数和积分方程中遇到的很
多算子都是紧算子. 本节我们叙述关于紧算子谱的 Riesz-Schauder
理论. 为此,我们做一些必要的准备.
设 X 是 Banach 空间, CX()是 X 中的紧算子的全体.
引理 1 设 X 是 Banach 空间, N ⊂ X 是有限维子空间,则 N 是
可余的,即存在闭子空间 M 使得 X = M ⊕ N .
证明 N 是闭的,设 ee1,,⋅⋅⋅ n 是 N 的一组基,对于每个 x ∈ N,
x = axe11()+⋅⋅⋅+ axenn () ,
此表达式是唯一的. 容易验证,ax1(),,⋅⋅⋅ axn ()是 N 上的线性泛函并且
每个 ax1(), axi ()= 0当且仅当
x =axe11() +⋅⋅⋅+ aiiii−−++ 1 () xe 1 + a 1 () xe 1 +⋅⋅⋅+ axe nn () ,
故 Na()iiin=⋅⋅⋅⋅⋅⋅ spane {,,111 e−+ , e , ,} e 为 n −1维闭子空间.
ai 在 N 上定义,根据 Hahn-Banach 定理,ai 可延拓到整个空间 X
n
** *
aa1 ,,⋅⋅⋅ n ,设 M = ∩ Na(),i M是闭线性子空间.
i=1
我们证明 XMN=⊕.
1
若 x ∈∩MN, 则一方面对于每个 ix,(),()0,∈ Naii a x = 又
x ∈ N, 故
x = axe11()+⋅⋅⋅+ axenn () = 0,
'* *
即 MN∩={0}. 另一方面, ∀ x ∈ X , 记 x =+⋅⋅⋅axe11() axenn () , 则
x' ∈ N 并且
*'**'**
axiiiii(−= x ) ax () − ax ( ) = ax () − ax () = 0, in= 1,⋅⋅⋅.
于是 yxxMx',=−∈' 有分解 x = xy''+ . 所以 XMN= ⊕.
引理 2 设 X 是 Banach 空间, A∈CX(), λ∈C,0,λ≠则
NIA()λ−是有限维的, R()λIA−是 X 的闭线性子空间.
证明 1
考虑 NNIA= (),λ−−λ IA是有界线性算子,故 N 是
闭线性子空间.∀ x ∈=NAx,,λ x 即 A()NNN= λ= . A 是紧算子,
x x
设{}x 是单位球中的任一序列,则{}n 是有界序列, A()n = x .于是
n λλ n
{}x 中有子序列{}x 收敛. 这说明 N 的闭单位球是紧的,从而 N 是
n nk
有限维的.
2
由引理 1,存在闭线性子空间 M , XMN= ⊕, 我们证明
M =−RIA()λ.
定义算子 B :,MXBxxAx→=− XMN= ⊕,在 N 上,
λIA−=0 ,故 R()BRIA=−(λ). B 是一一的,实际上若
BxBxxxM1212=∈,, ,则
()()λI −=−Ax12λ I Ax,或()()0λIAxx− 12−=,
故一方面 x 12−∈xM, 另一方面 x12− xNIAN∈−=()λ,所以
x12−=xxx0, 1 = 2.
现在我们证明存在 aBxaxxM>≥∀∈0, || || || ||, . 否则,存在
xn ∈ M ,
−1 −1
||Bxnxnn ||< || ||,不失一般性设||xn ||= 1 ,则||Bxnn ||< . A 是紧的,
故有子列 x ,.Ax→∈ x X 但 AxxBx= λ−,由 Bx → 0 知
nnkk 0 nnnkkk nk
2
λxxn→→∞(). 于是一方面由 B 的连续性, Bx= limλ Bx = 0.
nkk 0 0 nk
nk →∞
另一方面,||xx ||==≠ lim ||λ|| |λ| 0, 矛盾说明 a 是存在的.
0 nk
nk →∞
若 yn 是 R()B 中的 Cauchy 序列,不妨设 yBxxMnnn= ,,∈则
||yymn−|| =||B (xxmn−≥) || axx || mn −||,
{}xn 是 M 中的 Cauchy 序列, M 闭,故存在 x00