文档介绍：§5. 矩阵的秩
矩阵的秩是一个很重要的概念,在研究线性方程组的解等方面起着非常重要的作用。
定义1. 在矩阵中任取行列,由
位于这些行、列相交处的元素按原来的次序构成的阶行列式,称为的一个阶子式,记作。
共有个。
例如有4个三阶子式,18个二阶子式。
定义2. 若矩阵中不等于0的子式的最高阶数是,则称
为矩阵的秩,记作。
由此及行列式的性质可得到结论:
1. ;
2. 对于,有;
3. 若,则中至少有一个,而所有的
.
定义3. 设,若,则称为满秩方阵;
若, 则称为降秩方阵。
推论: 为满秩方阵。
由此可知,可逆为满秩方阵。
例1. 求下列矩阵的秩
,
解: ,而的所有三阶子式(4个)
,,,
所以
满秩。
§
本节介绍矩阵的初等变换,它是求矩阵的逆和秩的有利工具。
一、矩阵的初等变换与初等矩阵
在利用行列式的性质计算行列式时,我们对其行(列)作过三种变换——“初等变换”。
定义1. 对矩阵的行施以下述三种变换,称为矩阵的行初等
变换:
(1) 列初等变换
(2)
(3)
矩阵的行初等变换与列初等变换统称为矩阵的初等变换。
定义2. 由单位矩阵经过一次初等变换而得到的矩阵称为
初等矩阵,也有三种:
(1) 或, 得,
例
(2) 或, 得,
例
(3) 或, 得,
例
且都是可逆的,其逆矩阵仍为初等矩阵:
,,
利用初等变换求逆矩阵
先介绍矩阵的初等变换与矩阵乘法的联系。
定理1.(1) 交换的两行;
交换的两列
(2) 以乘的第行;
以乘的第列
(3)把的第行的倍加到第行上去;
把的第列的倍加到第列上去
定理2. n阶可逆方阵可以经过一系列的初等行
变换化为n阶单位矩阵
证明: 可逆,,的第一列至少有一个非0元素,于是经过若干次初等行变换可以化为
其中*表示任意数,表示阶方阵。
显然, 而所以
因而的第一列至少有一个非元素,于是再对施以若干次初等行变换,又可以化为
显然,,而,其中,
所以如此继续,经过一系列的初等行变换,最终得到单位矩阵,即
证毕。
由定理1和定理2 立即推得:
推论1. 可逆存在初等矩阵,使得
用右乘式两端,得
比较、两式可见:若经过一系列的初等行变换后,化为,则经过同样的初等行变换化为,从而使我们得到一种有效的求逆矩阵的方法:
推论2.
其中、表示的矩阵。
例1. 设. 用初等变换法求.
解:
所以
例2. 设,试用初等变换法求.
解:
所以
例3. 判断方阵是否可逆。若可逆,求
解:
因为,所以,故不可逆,即不存在。
注:此例说明,从用初等变换求逆矩阵的过程中,即可看出逆矩阵是否存在,而不必先去判断。
例4. 解矩阵方程,其中
,.
解:
三、利用初等变换求矩阵的秩
定理3. 矩阵的初等变换不改变矩阵的秩(证略)。
利用定理3可以简化求秩的计算,其常用的方法有:
只用初等行变换,可把变成上阶梯形矩阵。
例5. 求其中
解:
(上阶梯形),有此可看出。
,在进行列初等变换,可化为标准型。
例5中,
的特点:左上角为一个阶单位矩阵,其它元素为0。
在具体的解题过程中,如果经过几次初等变换后即可看出的秩时,就不必再继续将化为阶梯形。
例6. 求, 其中
解:
至此,易知
所以, 不是阶梯矩阵。
思考题:
试分析以下给出的解答的错误,并给出正确的解答。
已知, 求
错误解答:
即
错误原因: 没有注意到利用来求时,
要使用初等行变换才可以。而在解法中第1、3步却使用了列变换。
正确答案:
作业:
习题2-4 1. 2. (4)(5)
习题2-5 1. 3.
习题2-6 1. 2. 3. (2) (4) (5) 4. 6.
§. 逆矩阵
§ 逆矩阵定义和计算
定义1. 设A是n阶方阵,若存在n阶方阵B使AB=BA=E,则称B是A的逆矩阵,并称A是可逆矩阵或称A为非奇异矩阵。
若A是可逆矩阵,则A的逆矩阵是唯一的,不然,若B,C
都是A的逆矩阵,则有
AB=BA=E,AC=CA=E,
B=BE=B(AC)=(BA)C=EC=C.
通常将A的逆矩阵记作A-1。从定义可见,A也是B的逆矩阵。
因此,A、B是互为逆阵的。