文档介绍：§ 矩阵的运算
1. 矩阵的加法运算
2. 矩阵的乘法运算
3. 矩阵的乘方运算
4. 矩阵的数量乘法
一矩阵的加法
矩阵加法:
1. 具有相同行、列数的矩阵(即同型矩阵)方可相加;
2. 同型矩阵A, B的对应元素相加组成同型矩阵A+B.
例. 由产地A1,A2调运大米和面粉到销地B1,B2,B3
的数量(吨)分别如 A,B 矩阵所示,则调运粮食总
量可以由矩阵如下 A+B 给出.(见下页)
性质5 max{r(A), r(B)}≤r(A, B)≤r(A)+r(B). 特别: r(A)≤r(A,β)≤r(A)+1,β为非零列向量.
证明:矩阵A的最高阶非零子式总是(A, B)的非零子式→ r(A)≤r(A, B). 同理可以推出 r(B)≤r(A, B) →
max(r(A), r(B))≤r(A, B).
设r(A) = r, r(B) = t, 把A,B分别作列变换化成列阶
梯形矩阵A,B , 则A,B分别含r个和t个非零列,可设
A→A = (α1,···,αr,0, ···, 0);B→B = (β1, ···,βt, 0, ···, 0),
即矩阵(A, B)经过列变换化成为(A ,B),而(A ,B)中
只含有r + t个非零列→ r(A ,B)≤ r + t → r(A, B) =
r(A ,B)≤ r + t,即 r(A,B) ≤ r + t .
性质6 r(A + B)≤r(A) + r(B)
证明: 设A,B均为 s×n 矩阵,且
A = (α1, α2, ···, αn), B = (β1, β2, ···, βn).
对矩阵(A+B, B) =
(α1 +β1, α2+ β2, ···, αn+ βn, β1, β2, ···, βn)
作列变换: (-1)×cn+i+ci上,则将矩阵(A+B, B) 化
成矩阵(A, B), 于是据性质6,就有
r(A+B)≤r(A+B, B) = r(A, B)≤r(A)+r(B).
矩阵加法满足结合律,交换律;减法作为加法的逆
运算,不是一个独立的运算;矩阵加(减)法中有关秩的
性质5,6是不同于我们以往所学代数运算性质研究的
两个独特的性质,应特别予以重视.
矩阵乘法: 两矩阵A = (aik),B = (bkj)相乘为AB = (cij)
A的列数= B的行数,两矩阵A,B方可相乘;
AB的第 i 行、第 j 列元素cij等于A的第 i 行与B的第 j 列
对应元素乘积的和.