第3章 集合.ppt

文档介绍：第3章集合
集合的基本概念
集合的运算
集合恒等式
集合的覆盖与划分
笛卡尔积
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第3章集合

一些确定的、能区分的对象的全体是集合,通常用大写的英文字母表示。组成集合的对象叫做集合的元素或成员,常用小写的英文字母表示。
集合的元素必须是确定的。所谓确定的,是指任何一个对象是不是集合的元素是明确的、确定的,不能模棱两可。
集合的元素又是能区分的,能区分的是指集合中的元素是互不相同的。如果一个集合中有几个元素相同,算做一个。例如集合1,2,3,3和1,2,3是同一集合。
集合的元素是任意的对象,对象是可以独立存在的具体的或抽象的客体。它可以是独立存在的数、字母、人或其它物体,也可以是抽象的概念,当然也可以是集合。例如集合1,2,3,1,2的元素3和1,2就是集合。
集合的元素又是无序的,即1,2,3和3,1,2是同一集合。
设S是集合,a是S的一个元素,记为aS,读做“a属于S”,也可读做“a在S中”。如果a不是S的元素,记为aS,读做“a不属于S ”,也可读做“a不在S中”。
例如:
①26个英文字母组成一个集合,任一英文字母是该集合的元素。
②直线上的所有点组成实数集合R,每一个实数是集合R的元素。
③陕西科技大学全体学生组成一个集合,该校的每一个学生是这个集合的元素。

集合有三种表示法。
第一种表示法是列举法:在花括号“”中列举出该集合的元素,元素之间用逗号隔开。
例如:
I5=1,2,3,4,5
I+=1,2,3, …
I =0,1,-1,2,-2, …
S=T,F
第二种表示法是描述法:用谓词界定集合的元素。
例如:
Q=x | x是有理数
R=x | x是实数
C=x | x是复数
A=x | x I∧0<x∧x<5
若用P(x)表示x是有理数,那么Q又可表示为:
Q=x | P(x) 
一般地说,集合可用描述法表示为:
S=x | A(x) 其中,A(x)是谓词
显然,当aS 时,则A(a)为真;反之,当A(a)为真,则aS。即aS的充分必要条件是A(a)为真。
在中学的教科书中将自然数定义为:
N=1,2,3, …
这是对的。在离散数学中,认为自然数是由0 开始的,即
N=0,1,2,3, …
我们把这种由0 开始的自然数集叫做扩展的自然数集。离散数学中使用扩展的自然数集。本书的自然数集是指扩展的自然数集。
具有有限个元素的集合叫有限集,否则叫无限集。有限集元素的个数称为该集合的基数,也叫集合的势。有限集A的基数记为|A|。
例如:设 A=a,b,c,A 是有限集,A的基数|A|=3。
无限集也有基数的概念。无限集的基数比有限集的基数要复杂的多,。
扩展的自然数集N=0,1,2,3, …是无限集。整数集合I、有理数集合Q、实数集合R和复数集合C都是常见的无限集。

设A,B是任意的集合,当A的每一元素都是B的元素时,则称A是B的子集,也称A包含在B内或B包含A。记为AB或BA。
当A不是B的子集时,记为A⊈B。
AB用谓词公式表示为:AB(x)(xA→xB)
A⊈B用谓词公式表示为: A⊈B(x)(xA∧xB)
例如:设A=1,B=1,2,C=1,2,3则
AA
AB,BC,AC
C⊈B
可以证明,集合的包含有下列性质:
①自反性。即对任意集合A,AA。
②传递性。即对任意集合A、B、C,当AB和BC
时,AC。
设A,B是集合,如果AB且BA,则称A与B相等。记为A=B。如果A与B不相等,记为A≠B。
集合相等也可用谓词公式表示为:
A=BAB∧BA
(x)(xA→xB)∧(x)(xB→xA)
(x)(xA↔xB)
例如:设 A=1,2,B=1, 2,C=2,1则
A=C,A≠B
由集合相等的定义可以看出,集合相等有下列性质:
①自反性: 即对任意集合A,A=A。
②对称性: 即对任意集合A、B,当A=B时,B=A。
③传递性: 即对任意集合A、B、C,当A=B和B=C时,A=C。
设A,B是集合,如果AB且A≠B,则称A是B的真子集。记为AB。如果A不是B的真子集,记为AB。
真子集用谓词公式表示为:
ABAB∧A≠B
(x)(xA→xB)∧(x)(xB∧