文档介绍：第六章不定积分
不定积分的概念和运算法则
前面学习了极限、连续函数、实数的连续性,以及导数于微分,特别是重点学习了导数、微分的概念。我们知道求导是一种运算,它的被运算对象是函数。在以前我们也学过很多的运算。例如,加、减、乘、除、乘方、开方、指数、对数等等。我们可以将求导运算与这些已知的很熟悉的运算相类比。(用旧的概念和新的概念相类比,从已有的经验中来发现新概念、新知识中的规律,这是一种数学方法。)我们看看这些旧的运算,我们很快会发现它们都成对出现,而且每对都是互为逆运算。我们不禁会想到,求导运算是否有逆运算,它的逆运算是什么?
问题1:求导运算的逆运算是什么?讨论其逆运算的意义何在?
我们知道导数概念是一个非常重要的概念。它不仅仅是一种形式运算,在实际应用中是很有用的。例如(1)已知物体的运动规律,即路程函数,求物体的瞬时速度;(2)已知曲线,求它的切线的斜率。如果我们讨论的是反问题,已知物体运动的瞬时速度,即速度函数,求物体的运动规律,即路程函数;已知曲线在每一点的切线的斜率,求此曲线。在解析几何中,对于直线的讨论,由于直线的点的斜率相同,所以用点斜式很快就能得到。如果所讨论的是一般的,那么就是这里的问题了。我们把求导的逆运算称为不定积分。
定义:函数在区间上有定义,如果存在函数,使
称是函数(在区间上)的原函数。
例如:
(是const),所以是的原函数。
,所以是的原函数。
,所以是的原函数。
,所以是的原函数。
问题2:函数的原函数是否存在,即什么样的函数有原函数。如果存在,其原函数是否唯一?
对于问题前半截的回答,只能由下一章解答。而对后半截问题的回答则是容易的。
显然由是的原函数,即,则
, (是const)
即也是的原函数。由此我们看到,如果一个函数存在原函数,那么这个函数就有无限多个原函数。
问题3:函数的原函数的结构是什么样子。已知一个原函数为,是否每一个原函数都可表示为形式?换句话说,除了形式之外,是否还有其它形式的函数,也是的原函数?
定理:如果是函数的原函数,则函数的无限多个原函数仅限于(是const)的形式。
证明:已知是的原函数,即
(1)
设是函数的另一个原函数,即
(2)
与(2)相减,有
,例1,(c是某个常数)或,亦即函数的任意一个原函数都是的形式。
这就给出了函数的原函数的构造问题。一个函数的无限多个原函数彼此仅相差一个常数。如果求出了一个原函数,其它所有的原函数也相应的被求出来了。
另一方面,定理说明:已知一条原函数曲线,其它的原函数曲线可以用平移的方法得到。
定义:函数的所有的原函数(是const),称为函数的不定积分。表为
()
其中称为被积函数,称为被积表达式,称为积分常数。
值得注意的是,一个函数的不定积分既不是一个数,也不是一个函数,而是一个函数族。例如:
, 有
,
,
我们把求已知函数的原函数的运算称为积分运算,积分运算是微分运算的逆运算。
对于一个运算有它的运算法则,有它的公式表,例如乘法运算的法则及其乘法表。
不定积分的性质及运算法则:
1. 或
亦即不定积分的导数(或微分)等于被积函数(或被积表达式)。
证明:设是函数的原函数,即,则
2. 或
亦即函数的导数(或微分)的不定积分等于函数族。
证明:已知是函数的原函数,则
。
例如:
3.(齐次性),是常数,且。
即被积函数的常数因子可以移到积分号的外边。
证明:
,
即。
4.(可加性)。
即两个函数代数和的不定积分等于两个函数不定积分的代数和。
证明:
=
即。
此法则可推广到n个(有限)函数,即n个函数的代数和的不定积分等于n个函数不定积分的代数和。
,亦即
。
当然,。
类似于从乘法表得到除法表,我们可以从导数公式表得到不定积分的公式表:
1.,
2.
3.
4.
特别
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
公式3的补充说明:
(1)。
(2)。
于是,对或,都有
。
乘法表对于乘法运算相当重要,所以不定积分表对于不定积分同样是相当重要的。
例1:求。
解:
=
=
=
=
值得注意的是,等式右端的每个不定积分都有一个任意常数,有限个任意常数的代数和还是一个任意常数,所以上式只写一个任意常数。
例2:求。
解:
=
=
=
例3:求。
解:
=
例4:求。
解:
=
=
例5:求。
解:
=
=
=
例6:求。
解:
==
=
例7: