文档介绍：中值定理
第二章我们讨论了微分法,解决了曲线的切线、法线及有关变化率问题。这一章我们来讨论导数的应用问题。
我们知道,函数
在区间
上的增量
可用它的微分
来近似计算
其误差是比
高阶的无穷小
是近似关系
是极限关系,都不便应用
我们的任务是寻求差商与导数的直接关系,既不是极限关系,也不是近似关系。对此,Lagrange中值定理给出了圆满的解答:
——导数应用的理论基础
本章我们先给出Rolle定理(它是Lagrange定理的特殊情况),由特殊过渡到一般来证明Lagrange定理和Cauchy定理,有了Cauchy定理就可以给出Taylor中值定理及L, Hospital法则,这就是本章理论部分的主要内容。
理论部分结构图
Lagrange定理
特例
Rolle定理
推广
Cauchy定理
推广
Taylor定理
本章的导数应用部分就是以此为基础展开讨论的,利用Lagrange定理给出了可导函数的单调性和凹凸性的判定法则,可以讨论可导函数取得极值的条件;有了L, Hospital法则,可以进一步讨论
等各种类型的未定式的极限;此外利用中值定理和
单调性还可证明一些不等式。
重点
微分中值定理
L, Hospital法则
Taylor公式
求函数的极值和最值
难点
中值定理
L, Hospital法则的运用
利用中值定理证明不等式
基本要求
①正确理解和掌握R、L、C、T定理及它们之
间的关系
②熟练运用L—法则求未定式的极限
③掌握函数展开成Taylor公式的方法,熟记
的Taylor公式
④熟练掌握单调性的判定方法,会利用单调性
来证明不等式
⑤正确理解函数取得极值的条件,掌握极值判定
条件及求法
⑥掌握函数凹凸性的判定方法,会求曲线的拐点
⑦会用中值定理证明不等式
先讲中值定理,以提供必要的理论基础
一、罗尔(Rolle)定理
定理(Rolle)
若函数f ( x ) 满足
(1)在闭区间[a,b]上连续
(2)在开区间(a,b)内可导
(3)在区间端点处的函数值相等f(a)=f(b)
例如,
几何解释:
若连续曲线弧的两个
端点的纵坐标相等,且除去两个端点外处处有不垂直于横轴的切线,
物理解释:
变速直线运动在折返点处,瞬时速度等于零.
证