文档介绍：第三章函数极限 
教学目的:
,掌握函数极限的基本性质;
;
,并能熟练运用;
(大)量及其阶的概念,会利用它们求某些函数的极限。
教学重(难)点:
本章的重点是函数极限的概念、性质及其计算;难点是海涅定理与柯西准则的应用。
教学时数:14学时
§ 1 函数极限概念(2学时)
教学目的:使学生建立起函数极限的准确概念;会用函数极限的定义证明函数极限等有关命题。
教学要求:使学生逐步建立起函数极限的定义的清晰概念。会应用函数极限的定义证明函数的有关命题,并能运用语言正确表述函数不以某实数为极限等相应陈述。
教学重点:函数极限的概念。
教学难点:函数极限的定义及其应用。
一、 复习:数列极限的概念、性质等
二、 讲授新课:
(一) 时函数的极限:
以时和为例引入.
介绍符号: 的意义, 的直观意义.
定义( 和. )
.
例1 验证
例2 验证
例3 验证
证……
(二) 时函数的极限:
由考虑时的极限引入.
定义函数极限的“”定义.
几何意义.
用定义验证函数极限的基本思路.
例4 验证
例5 验证
例6 验证
证由=
为使需有
为使需有
于是, 倘限制, 就有
例7 验证
例8 验证( 类似有
(三)单侧极限:  
:单侧极限的定义及记法.
几何意义: 介绍半邻域
然后介绍等的几何意义.
例9 验证
证考虑使的
2.  单侧极限与双侧极限的关系:
Th
类似有:
例10 证明: 极限不存在.
例11 设函数在点的某邻域内单调. 若存在, 则有
=
§2 函数极限的性质(2学时)
教学目的:使学生掌握函数极限的基本性质。
教学要求:掌握函数极限的基本性质:唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等。
教学重点:函数极限的性质及其计算。
教学难点:函数极限性质证明及其应用。
教学方法:讲练结合。
一、组织教学:
我们引进了六种极限: , .以下以极限为例讨论性质. 均给出证明或简证.
二、讲授新课:
(一)函数极限的性质: 以下性质均以定理形式给出.  
1.  唯一性:  
2.  局部有界性: 
3.  局部保号性:  
4.  单调性( 不等式性质): 
Th 4 若和都存在, 且存在点的空心邻域, 使,都有
证设= ( 现证对有)
註: 若在Th 4的条件中, 改“”为“”, 未必就有以举例说明.  
5.       迫敛性:  
6.       四则运算性质: ( 只证“+”和“”)
(二)利用极限性质求极限: 已证明过以下几个极限: 
( 注意前四个极限中极限就是函数值)
这些极限可作为公式用. 在计算一些简单极限时, 有五组基本极限作为公式用,我们将陆续证明这些公式. 
利用极限性质,特别是运算性质求极限的原理是:通过有关性质, 把所求极限化为基本极限,代入基本极限的值, 即计算得所求极限.
例1 ( 利用极限和)
例2
例3
註: 关于的有理分式当时的极限.
例4 [ 利用公式]
例5
例6
例7
例8
例9
例10 已知求和
补充题:已知求和( )
§ 3 函数极限存在的条件(4学时)
教学目的:理解并运用海涅定理与柯西准则判定某些函数极限的存在性。
教学要求:掌握海涅定理与柯西准则,领会其实质以及证明的基本思路。
教学重点:海涅定理及柯西准则。
教学难点:海涅定理及柯西准则运用。
教学方法:讲授为主,辅以练习加深理解,掌握运用。
本节介绍函数极限存在的两个充要条件. 仍以极限为例.
一.  Heine归并原则——函数极限与数列极限的关系:
Th 1 ,对任何且都存在且相等.( 证)注意自变量各种变化形式下对应的Heine归结原则的形式。(包括连续时)
 
Heine归并原则反映了离散性与连续性变量之间的关系,,还可加强为单调趋于. 参阅[1]P70.
例1 证明函数极限的双逼原理.
例2 证明
例3 证明不存在.
二.  Cauchy准则:
Th 2 (Cauchy准则) ,,
证
( 利用Heine归并原则)
Cauchy准则的否定: 不存在的充要条