文档介绍：第十五章 Fourier级数
教学目的:;、定义和收敛定理;,并理解奇、偶函数的Fourier级数和Fourier级数的收敛定理。
教学重点难点:本章的重点是将一个函数展开成Fourier级数;难点是Fourier级数的收敛性的判别。
教学时数:10学时
§ 1 Fourier级数
一.       三角级数与正交函数系.
1.      背景:
⑴波的分析:频谱分析. 基频( ) . 倍频.
⑵函数展开条件的减弱: 积分展开.
⑶中用Descates坐标系建立坐标表示向量思想的推广:
调和分析简介: 十九世纪八十年代法国工程师Fourier建立了Fourier分析理论的基础.
2.          三角级数的一般形式: 一般的三角级数为.
由于,
设, 得三角级数的一般形式

3. 三角级数的收敛性:
Th1 若级数收敛, 则级数在R 内绝对且一致收敛.
证用M 判别法. 
:
( 1. ) 内积和正交: 由R 中的内积与正交概念引入.
设函数和在区间上( R)可积. 定义内积为
.
当时, 称函数和在区间上正交.
函数的正交性与区间有关. 例如函数和在区间上并不正交( 因为) , 但在区间却是正交的. 
(2).正交函数系统: 标准正交系( 幺正系) , 完全系. 
三角函数系统

是区间上的正交系统. 验证如下:
, ;
 
,
对且,有
和.
该系统不是标准正交系, 因为 
, . 
因此, 三角函数系统

是标准正交系. (与R 中的坐标系比较)
二.       以为周期函数的Fourier级数:
1.   三角级数的系数与其和函数的关系:
Th2 若在整个数轴上

且等式右端的级数一致收敛,则有如下关系式
,
,
证 P64 
2.   Fourier系数和Fourier级数:
Euler―Fourier公式: 设函数在区间上(R)可积,称公式
,
,
为Euler―Fourier公式. 称由Euler―Fourier公式得到的和为函数的Fourier系数. 并称以Fourier系数和为系数的三角级数

为函数的Fourier级数, 记为
~
例1  , . 求函数的Fourier级数.
解是上的奇函数, ;

.
因此, ~ .
例2  设函数满足条件( 称满足该条件的函数为反周期函数). 问这种函数在区间内的Fourier系数具有什么特性.
解.
而.
因此, .
时, , ;
同理得.
三.       收敛定理:
1. 按段光滑函数: .
定义若的导函数在区间上连续, , 且
仅在区间上有限个点处不连续且为第一类间断点, 则称是区间上的按段光滑函数.
按段光滑函数的性质: 设函数在区间上按段光滑, 则
⑴在区间上可积;
⑵对, 都存在, 且有
,
( 用Lagrange中值定理证明)
⑶在区间上可积.
2.      收敛定理:
Th3 设函数是以为周期的周期函数且在区间上按段光滑, 则在, 的Fourier级数收敛于在点的左、右极限的算术平均值, 即
,
其中和为函数的Fourier系数. ( 证明放到以后进行)
系若是以为周期的连续函数, 在上按段光滑,且则的Fourier级数在内收敛于.
3.      函数的周期延拓:
四.       展开举例:
例3 把函数展开为Fourier级数.
解参阅例1 , 有
例4 展开函数.
解; .

函数在上连续且按段光滑, 又, 因此有
.
( 倘令, 就有, )
例5 设
求函数的Fourier级数展开式. P67 .例1
例6
把函数展开成Fourier级数. P68例2
例7 (2)(i)
解法一( 直接展开) ;
;
.
函数在区间内连续且按段光滑, 因此有
, .
由于, 该展开式在上成立.
( 在该展开式中, 取得, ;取, . )
解法二( 间接展开: 对例3中的展开式作积分运算) 由例3 , 在区间内有. 对该式两端积分, 由Fourier级数可逐项积分,有

.
为求得,