线性变换的定义.ppt

文档介绍：§ 线性变换的定义
线性变换的定义及实例
线性变换的基本性质
一. 线性变换的定义及实例
定义1 映射 A :V→V称为线性空间V上的一个变换;V上的变换A 称为线性变换,如果
对任意的α,β∈V, 对任意的k∈P,
1) A (α+β)= A (α)+ A (β);
2) A (kα)= k A (α).
本教材一般用花体拉丁字母A ,B,···表示线性变换;
称如上条件1), 2)为“线性变换保持向量加法和数乘不变”;
注意与同构映射 f:V→W(V,W为线性空间)的异同之处。
例1 S θ:V2→V2 , S θ(α) =α/ (α按逆时针方向旋转θ度得α/ ),(即二维平面上的旋转变换)。 设α,α的坐标分别是(x, y), ( x/, y/ ), 则 . 可以证明, S θ是二维平面V2 上的一个线性变换。证明: 对任意的α,β∈V2 , 设α+β=γ(如图)
S θ(α+β) = S θ(γ) =γ/=α/ +β/= S θ(α) + S θ(β) , S θ(kβ) = kβ/= k S θ(β) . 故S θ是V2 上的线性变换.
αγ
θ
β kβ
α/ γ/
β/ kβ/
ζ

ke α
例6 设V是数域P上的线性空间,k∈P, 定义V上的变换为α→kα(对任意的α∈V ),可以证明该变换为线性变换,称为由数k确定的数乘变换,并用K 表示. 当k = 1时,即为恒等变换,当k = 0时,即为零变换.证明: K 显然是V上的变换. 现仅证其为线性变换.  对任意的α,β∈V , a∈P, K (α+β) = k(α+β) = kα+kβ= K (α)+ K (β); K (aα) = k (aα) = (ka)α= a(kα) = a K (α).故 K 是V上的线性变换. □
二. 线性变换的基本性质
A (aα+ bβ)= a A (α)+ b A (β);
2 A (0) = 0, A (-α) = - A (α);
3. A ( k1α1 + ··· + krαr ) = k1 A (α1) + ··· + kr A (αr);
(保持线性关系不变)
4. α1, ···, αr 线性相关,则A α1, ···, A αr线性相关.
反之,则不一定. 例如零变换 A (α)= 0(α≠0).
证明: 1. A (aα+ bβ) = A (aα)+ A (bβ)
= a A (α)+ b A (β).
2. A (0) = A (0α) = 0 A (α) = 0.
A (-α) = A ((-1)α) = (-1) A (α) =-A (α).
据1,易证该等式成立.
据题设,存在不全为0的数k1, ···, kr∈P, 使得
k1α1 + ··· + krαr= 0 →据3. ,
A ( k1α1 + ··· + krαr ) = k1 A (α1) + ··· + kr A (αr) = A (0) = 0,即A α1, ···, A αr线性相关.
性质3说明:设β= k1α1 + ··· + krαr → A (β) =
A ( k1α1 + ··· + krαr ) = k1 A (α1) + ··· + kr A (αr) , 即β与
A (β) 具有相同的线性关系.