文档介绍：第八讲矩阵函数的求法
一、利用Jordan标准形求矩阵函数。
对于矩阵的多项式,我们曾导出,:多项式
实际上,以上结果不仅对矩阵的多项式成立,对矩阵的幂级数也成立。由此引出矩阵函数的另一种定义及计算方法。
1. 定义:设n阶矩阵A的Jordan标准形为J
,
有非奇异矩阵P使得:
对于函数f(z),若下列函数

均有意义,则称矩阵函数f(A)有意义,且
2. 矩阵函数的求法(步骤):
求出A的Jordan标准形及变换矩阵P,
对于J的各Jordan块求出,即计算出
并按照顺序构成,
合成
矩阵乘积给出
需要说明的是,计算结果与Jordan标准形中Jordan块的顺序无关。
例1 (教材P176例3-8). ,求
[解] 1求出J及P
2 求出并构成:

f(1)=1,

3 合成
4 求,
说明:
(1),
可见这样的确与构成反函数;
(2)矩阵函数的种类不仅是我们介绍的这种,如辛矩阵。以
为例,以我们这里的定义,,但
亦满足,即B也可以看作某种
二、利用零化多项式求解矩阵函数.
利用Jordan标准型求解矩阵函数的方法比较复杂,它需要求J
和P。下面我们介绍根据零化多项式求解矩阵函数的一种方法。
定律:n阶方阵A的最小多项式等于它的特征矩阵的第n个(也就是最后一个)不变因子。(可参见张远达《线性代数原理》P215)
设n阶方阵A的不变因子反向依次为,由它们给出的初等因子分别为
;;
由于,故
1必定出现在中;
2若则
根据上述定理,A的最小多项式
A的最小多项式为其零化多项式,
即
令,则可见可以由线性表示,从而亦可由线性表示。所以,矩阵函数f(A)若存在,也必定可由线性表示。
因此,我们定义一个系数待定的(m-1)次多项式,根据以上论述,适当选择系数,就可以使f(A)=g(A).
又,假设J,P分别为A的