文档介绍：Ch 12 Fourier 级数
计划课时:1 2 时
P 95 —126
2005. .
Ch 12 Fourier 级数( 1 2 时)
§ 1 Fourier 级数( 6 时)
一、三角级数:
:
1 2π
⑴波的分析:频谱分析. 基频( T = ) . 倍频.
T ω
⑵函数展开条件的减弱: 积分展开.
⑶ R n 中用 Descates 坐标系建立坐标表示向量思想的推广:
调和分析简介: 十九世纪八十年代法国工程师 Fourier 建立了 Fourier 分析理论
的基础.
∞
2. 三角级数的一般形式:
0 + ∑ n sin( xnAA + ϕω n )
n=1
nx ϕ n =+ ϕ n nx + ϕ n sincoscossin)sin( nx ,
a
设 A = 0 , A sin ϕ= , Aa cos ϕ= b , 得三角级数的一般形式
0 2 nnnn nn
a ∞
0 *)
+ ∑ n cos + n sin nxbnxa ,
2 n=1
3. 三角级数的收敛性:
a || ∞
若级数 0 收敛则级数∗) 在内绝对且一致收敛
Th1 + ∑( n + ba n |||| ) , R .
2 n=1
证用 M 判别法.
二、三角函数正交系统:
1. 内积和正交: 由 R 3 和g 在区间[ , ba ] 上
( R)可积. 定义内积为
b
, =>< )()( dxxgxfgf .
∫a
当, gf >< = 0 时, 称函数xf )( 和xg )( 在区间[ , ba ] 上正交.
函数的正交性与区间有关. 例如函数 xf )( = − x 和)( = xxg 2 在区间[ 0 , 1 ] 上并
1
不正交( 因为, gf >< = −) , 但在区间[ −1 , 1 ] 却是正交的.
4
2. 正交函数系统: 标准正交系( 幺正系) , 完全系.
3. 三角函数正交系统: 三角函数系统
{ 1 , cos , sin , 2cos , 2sin xxxx , " , cos , sin nxnx , " }
是区间[ −π, π] 上的正交系统. 验证如下:
π
< 1 , cos kx >= kxdx = 0cos ,
∫−π
π
< 1 , sin kx >= kxdx 0sin , k == 1 , 2 , " ;
∫−π
π
< ,sin cos hxkx >= cossin hxdxkx =
∫−π
1 π
= []dxxhkxhk =−++ 0)sin()sin( , , hk = 1 , 2 , "
2 ∫−π
对, hk = 1 , 2 , "且≠ hk ,有
π
< sin , sin hxkx >= sinsin hxdxkx = 0 和
∫−π
π
< cos , cos hxkx >= coscos hxdxkx = 0 .
∫−π
该系统不是标准正交系, 因为
πππ
dx = 21 π, sin 2 kxdx = cos2 kxdx = π.
∫−π∫−π∫−π
因此, 三角函数系统
1 cos sin 2cos 2sin cos sin nxnxxxxx
{ , , , , , " , , " }
2 πππππππ
是标准正交系. (与 R 3 中的坐标系{ , , kji } 比较)
三、以 2π为周期函数的 Fourier 级数:
:
Th2 若在整个数轴上
a ∞
0
xf )( = + ∑ n cos + n sin nxbnxa ,
2 n=1
且等式右端的级数一致收敛,则有如下关系式
1 π
a = cos)( nxdxxf , n = 0 , 1 , 2 , "
n π∫−π
1 π
b = sin)( nxdxxf , n = 1 , 2 , "
n π∫−π
证
190
系数和 Fourier 级数:
Euler―Fourier 公式: 设函数 xf )( 在区间[ −π, π] 上(R)可积,称公式
1 π
a = cos)( kxdxxf , k = 0 , 1 , 2 , "
k π∫−π
1 π
b = sin)( kx