文档介绍：第四章矩阵对角化问题
设为n 阶可逆矩阵,为的一个特征根,则的伴随矩阵的特征根之一为( )
A. B. C. D.
解: B.
设为的属于的一个特征向量),则,即,
从而.
注:一般地,我们有:若为的一个特征根,则
(1)的特征根为;
(2)的特征根为;
(3)的特征根为;
(4)若可逆,则的特征根为;
(5)若,则的特征根为;
(6)的特征根为.
,则矩阵有一特征值为( )
A. B. C. D.
解: B.
设为的属于的一个特征向量),则(为实数),
所以, 的一个特征值为=.
( )
B. 充分而非必要条件
C. 必要而非充分条件 D. 既非充分也非必要条件
解: B.
阶矩阵,且与相似,为n 阶单位矩阵,则( )
A.
B. 与有相同的特征值与特征向量
C. 与都相似于一对角矩阵
D. 对任意常数,有与相似
解: D.
,矩阵的特征值为,则行列式
解: 24.
设为的属于的一个特征向量), 可逆,
则,,
即的特征值为-1,
从而(2-1)(3-1)(4-1)(5-1)=24.
另一方面, 与相似,所以,存在可逆矩阵使得,
即,
,
所以与相似,
相似矩阵有相同的行列式,因此, 24.
,且若有特征值,则的特征值为
解:
若的特征值为,则的特征值为,的特征值为,
所以, 的特征值为
解: 4.
计算特征行列式
.
所以,非零特征值为4.
,则的n个特征值为
解:n,0,其中0为n-1重根.(计算方法如上)
(1)求的特征值;(2)利用(1)中结果求的特征值,其中为三阶单位矩阵.
解: (1)
所以, 的特征值为1,-5.
(2)由为的属于的一个特征向量), 可逆,得,
从而,
即的特征值为(为的特征值).
所以, 的特征值为2,.
,求和应满足的条件.
解:
所以, 的特征值为.
因为有三个线性无关的特征向量,所以特征值1有两个线性无关的特征向量,
即 r()=3-2=1,
由秩为1可得: ,即和满足.
,2,3;矩阵的属于特征值1,2,的特征向量分别为
求的属于特征值3的特征向量;
求矩阵.
解(1)设的属于特征值3的特征向量为
矩阵的属于不同特征值的特征向量正交,
所以,
即为下列方程组的非零解:
解得基础解系为.
所以的属于特征值3的全部特征向量为
为任意实数.
记则
所以,
计算得代入得
解: 由得,其中
计算得
所以.
已知有一个特征值是3,求,
求使为对角矩阵.
解: (1)计算得
将代入得
(2) ,其中为对角矩阵.
所以,只需求正交矩阵,使对角化.
将代入解得的特征值为1,1,-1,3.
所以的特征值为1(三重根),9.
对解对应矩阵方程,得特征向量为
对解对应矩阵方程,得特征向量为.
已经两两正交,将它们各自单位化后,
令, 则有
.
(1)求及特征值; (2) 可否对角化?
解: (1) 设为的属于特征值的一个特征向量),则
,解得
(2)将代入得,所以–1为的三重特征根.
而, 所以不能对角化.
.
解:由题意得: 即对应矩阵方程为
亦即
解得
试求矩阵.
解:由题意得,
令,则
用初等行变换计算得,
代入得
,且满足条件其中为四阶单位阵.
求矩阵的伴随矩阵的一个特征值.
解: 设为的属于特征值的一个特征向量), 可逆,则,
,所以, 为的一个特征值.
由题意, 即从而为的一个特征值.
另一方面,由得,
,所以,
从而的一个特征值为
||=-1,又设的伴随矩阵有特征值的属于特征值的特征向量为求及的值.
解: 由题意得,又从而,
对应矩阵方程为
即
(1)-(3)得=1; 代入(2)得=-3; 代入(1),(3)得;
将,=-3代入||=-1得=2.
,且满足条件
记求
(1) (2)矩阵的特征值和特征向量.
解:(1) 其中为数,从而
(2)设为的属于特征值的一个特征向量),
则
所以,=0,