文档介绍：第六章曲面的内蕴几何初步
,曲面的第一基本形式确定了曲面的度量性质;同时,对于确定曲面的局部弯曲性质而言,曲面的Gauss曲率以及曲面上的曲线的测地曲率都是重要的内蕴几何量,它们衡量了几何对象的内在弯曲程度,,将会为抽象理论提供可靠的直观基础,,应该注意体会什么是空间的基本要素.
§1 测地曲率与测地线
在第四章中已经知道,曲面上的曲线的测地曲率是曲面的内蕴几何量,.
平面曲线相对曲率可以利用切向角关于弧长的导数而确定;类似地,曲面上的曲线的测地曲率也可以利用适当的切向角来加以刻画.
S: r = r(u1, u2) 的参数网正交,考虑其上的弧长 s 参数化曲线 C: ui = ui(s) ,取自然标架场{r; r1, r2, n} 所对应的单位正交右手标架场{r; x1, x2, n} ,其中
x1 = = = , x2 = = = ,g12 = F º 0 .
沿曲线 C 可写
T = ri = x1 + x2
= x1 cosy + x2 siny ,
其中夹角函数 y = y(s) 在曲线 C 局部总可取到连续可微的单值支,满足
() cosy = ,siny = .
故由测地曲率定义式出发进行推导可得
kg = T ¢(s)·[n(u1(s), u2(s))´T(s)] = [n(u1(s), u2(s))´T(s)]·T ¢(s)
= (x2 cosy - x1 siny)· (x1 cosy + x2 siny)
= (x2 cosy - x1 siny)·[ cosy + siny + (x2 cosy - x1 siny ) ]
= + x2· cos2y - x1· sin2y
= + x2·
= + · = + ·
= + ;
而易知
r2·r12 = r2·r21 = = ,r2·r11 = -r21·r1 = = ,
故进一步有
() kg = +
= + ,
或写为
() kg = +
= +
= +
= + .
公式() 或() 式称为正交网下的Liouville公式,它揭示出曲面上曲线的测地曲率与曲线在曲面上由() 式所确定的连续可微切向角函数 y =
y(s) 的关系,在欧氏平面Descartes直角坐标系下即为曲线相对曲率与切向角的关系式.
定义1 若曲面 S 上的曲线 C 的测地曲率向量恒等于零,即曲线 C 的测地曲率 kg º 0 ,则称 C 为 S 的一条测地线.
注记1 ①测地线是内蕴几何体.
②测地线具有明确的外在几何意义,即:曲线 C 为曲面 S 上的测地线当且仅当曲线 C 的曲率向量处处垂直于曲面 S S 上的曲线 C 无逗留点时,C 为 S 上的测地线的充要条件为 N