文档介绍：§2 凸函数及其应用
凸函数定义及其等价形式:
设f(x)在区间I上有定义,若对任意x1 、x2I ,[0,1]成立不等式:
f(x1+(1-)x2) f(x1)+ (1-)f(x2)
则称f(x)是区间I上的凸函数。
f(x)是区间I上的凸函数当且仅当对任意x1 、x2 、x3I ,x1 < x2 < x3,下列不等式之一成立:
, 。
事实上,设= ,则0 < < 1 ,且x2 = x3+(1-)x1 ,代入上面任意一式,变形后即得定义形式。
定理:若f(x)在区间I上连续,则f(x)是区间I上凸函数的充要条件为:对任意x1 、x2I 成立。
证:只须证明充分性。设n = k 2 时成立:
。
考察n = k+1的情形:
。
设=[0,1],则1-=。注意到kx = ,所以由上可知。对任意
[0,1],可用二进制数列{}逼近,于是由连续性即证得定理。
注:定理中f(x)连续性条件不能去掉。否则,即使定理中其他条件都成立,在实数域内f(x)也不一定是凸函数(参阅史树中编《凸分析》)。
范例:
1、若f(x)是区间I上的凸函数,则对I的任一内点x ,都存在,而且。
证:x1 < x < x2 ,则。当x1x 时,上式左边,当x2x 时,上式右边,在由单侧导数定义即证。
2、设f(x)是区间I上的凸函数,则在I的任一闭子区间上f(x)有界。
证:设[a,b] I ,x [a,b],取=,则x =(1-)a + b ,
f(x) (1-)f(a) + f(b) M ( 此处M= max(f(a) , f(b)) ) 。
再令c = ,x [a,b],存在x关于c的对称点,由f(x)的凸性得到
,因此,f(x) 2 f(c)– M = m 。
3、设f(x)是区间(a ,b)上的凸函数,则在(a ,b)的任一闭子区间上f(x)满足Lipschitz条件。
证:设(a ,b),取h > 0,使得(a ,b)。x1 、x2,x1 < x2 . 令x3 = x2 + h , = x1 – h ,则- .因此有
。
(注:由1知区间上凸函数一定连续,由3知区间上凸函数内闭一致连续。)
4、设a1 ,a2 ,...,a n ,为n个正数,证明: 。
证:取对数原式变形为,注意到,只须证,即证。为此,设,上式可表示为。由于,f(x)是凸函数,故而命题成立。
5、设(k = 1,2 ,…, n) 。求证:
。
证:原式可变形为,于是由的凸性可得第一个不等式,由的凹性可得第二个不等式。
6、设p > 0 , q > 0 。求证:当时。
证:原式可变形为,取对数又可变形为,由的凹性即证。
7、设ai > 0 , bi > 0 , qi > 0