文档介绍：一、设A、B为任意两个 n 阶方阵,证明
| AB | = | A | | B |
本章进一步结果
(1)先证明以下引理:
一个 n 阶方阵 A 总可以经过第三种行和列的初等变换化为一个对角矩阵.
并且
分两步证明.
证:如果 A 的第一行和第一列的元素不全为零,则总可以通过第三种初等变换使左上角的元素不为零,于是再通过适当的第三种初等变换可以把 A 化为
(1)
如果 A 的第一行和第一列的元素全为零,则A已经具有(1)的形式,对 A1 进行同样的考虑,易知可用第三种初等变换逐步把 A 化为对角矩阵,根据行列式的性质,有
(2) 下面来证明| AB | = | A | | B |
先看一下特殊情形,即 A 是一个对角矩阵的情形,设
令 B=(bij), 则
因此由行列式的性质得
A=P1P2…PsAPs+1…Pq
现在看一般情形,由引理知,可以通过第三种初等变换把 A 化为一个对角矩阵 A,并且有|A| = |A|, 反过来,矩阵 A 也可以通过对 A 施行第三种初等变换而得到,这就是说,存在着一系列的 P(i, j()) 型矩阵 P1, P2, …, Pq, 使
故
AB=P1P2…Ps A Ps+1…PqB
由于任意一个 n 阶矩阵的行列式不会因对它施行第三种初等变换而改变,换一句话说,用一些 P(i, j()) 型的初等矩阵乘以一个 n 阶矩阵后不改变这个矩阵的行列式. 因此,注意到 A 是一个对角矩阵,我们有