文档介绍：某地区物价指数图
§ 物价指数问题
怎样定义和计算物价指数
单种商品的情况
设基准年价格为P0,目前价格为P
可如下定义物价指数:
社会中的商品不可能只有一种。多种商品的问题更为复杂
多种商品的情况
假设有两种商品,基准年价格分别为、,目前价格分别
为P1,P2。可采用多种平均方法来定义:
算术平均值之比:
比值的算术平均值:
比值的调和平均值:
比值的几何平均值:
假如存在着n种商品,可以相应地写出类似的公式。
上述方法没有区别不同商品的重要性
事实上各种商品在人们生活中所占地位不尽相同,例如,钢琴降价20%和粮食涨价20%无法对消。
模型的进一步改进
引入权系数
对各种商品的比值进行加权,并允许相对权系数随时间变化
符号说明
记,
,
以P0、q0分别表示基准年n种商品的价格及相应的权系数,
以P、q分别表示观察年n种商品的价格及相应的权系数。
物价指数I(P0,q0,P,q)为的连续函数。
物价指数函数
前面的公式能否取作物价指数函数
对衡量物价指数方法的一些具体要求:
(1)单调性
(2)权系数的不变性
(3)齐次性
(4)平均性
(5)货币单位的独立性
(6)商品单位的独立性
(7)基准年的独立性
(8)物价指数不因某种商品的淘汰而失去意义
用数学的语言将上述八条性质写成公理形式
任一物价指数函数I(P0,q0,P,q)应满足以下要求:
(1) 若,则
(2) =1
(3)
(4)
(5)
(6)
其中,且λi>0 (i=1,…,n)
(7)
(8)
公理(7)的一些说明
若以1972年为基准年(物价指数取为1),,,若以1973年为基准年,。根据公理(7)的要求,应当有
,事实上,此式只近似成立。
请大家自行验证前面给出的公式I1-I4是否都能同时满足公理系统的(1)-(8)要求
一些常用的物价指数函数是否满足公理系统的要求
此公式是由laspeyres于1871年提出,在将近一个世纪的时间里,被广泛用于计算物价指数
可以用构造法证明上式公理(7)不成立
,即
不一定成立。
此式是Paasche在1874年提出的,与①不同的是计算时采用了现在的权系数。
容易直接看出公理(2)不成立。
其中ai>0,且
此式是平均方式(4)的一种自然推广。ai的取法和q0、q有关,实质上是权系数的一种变形。
该式也不能同时满足公理(1)—(8)。
令某,则I→0,而
若令某,则又有
所有较自然地导出的平衡公式均不能满足公理系统,是否该公理系统有矛盾?
不存在同时满足公里(2)、(3)、(6)、(7)、(8)的函数I(Eichhorn,1976)
先证明以下两个引理:
记,D1、D2为任意两个对角元素为正
的对角矩阵,则有:
证明: