文档介绍：最小二乘法
插值方法
当问题的机理非常不清楚难以直接利用其他知识来建模时,一个较为自然的方法是利用数据进行曲线拟合,找出变量之间的近似依赖关系即函数关系。
§ 经验模型
最小二乘法
设经实际测量已得到n组数据(xi , yi),i=1,…, n。将数据画在平面直角坐标系中,见图。如果建模者判断这n个点很象是分布在某条直线附近,令该直线方程为y=ax+b,进而利用数据来求参数a和b。由于该直线只是数据近似满足的关系式,故 yi-(axi+b)=0一般不成立,但我们希望
最小
此式对a和b的偏导数均为0,解相应方程组,求得:
y=ax+b
y
O
(xi ,yi)
x
其中和分别为xi和yi的平均值
如果建模者判断变量间的关系并非线性关系而是其他类型的函数,则可作变量替换使之转化为线性关系或用类似方法拟合。
显然,运动员体重越大,他能举起的重量也越大,但举重成绩和运动员体重到底是怎样关系的,不同量级运动员的成绩又如何比较优劣呢?运动成绩是包括生理条件、心理因素等等众多相关因素共同作用的结果,要建立精确的模型至少现在还无法办到。但我们拥有大量的比赛成绩纪录,根据这些数据不妨可以建立一些经验模型。为简单起见,我们不妨取表中的数据为例。
例1(举重成绩的比较)
举重是一种一般人都能看懂的运动,它共分九个重量级,有两种主要的比赛方法:抓举和挺举。表中给出了到1977年底为止九个重量级的世界纪录。
255
200
110以上
185
110
221
180
90
170
195
75
180
130
60
151
56
141
109
52
挺举(公斤)
抓举(公斤)
成绩
重量级(上限体重)
模型1(线性模型)
将数据画在直角坐标系中可以发现,运动成绩与体量近似满足线性关系,只有110公斤级有点例外,两项成绩都显得较低。应用前面叙述的方法可求出近似关系式L=kB+C,其中B为体重,L为举重成绩。你在作图时L轴可以放在50公斤或52公斤处,因为没有更轻级别的比赛,具体计算留给读者自己去完成。
模型2(幂函数模型)
线性模型并未得到广泛的接受,要改进结果,能够想到的自然首先是幂函数模型,即令L=kBa,对此式取对数,得到lnL=lnk+a lnB。将原始数据也取对数,问题即转化了线性模型,可用最小二乘法求出参数。几十年前英国和爱尔兰采用的比较举重成绩优劣的Austin公式:L′=L/B3/4就是用这一方法求得的。
模型3(经典模型)
经典模型是根据生理学中的已知结果和比例关系推导出来的公式,应当说,它并不属于经验公式。为建立数学模型,先提出如下一些假设:
(1)举重成绩正比于选手肌肉的平均横截面积A,即L=k1A
(2)A正比于身高 L的平方,即 A=k2L2
(3)体重正比于身高 L的三次方, 即B=k3L3
根据上述假设,可得
显然,K越大则成绩越好,故可用来比较选手比赛成绩的优劣。
模型4(O’ Carroll公式)
经验公式的主要依据是比例关系,其假设条件非常粗糙,可信度不大,因而大多数人认为它不能令人信服。1967年,O’ Carroll基于动物学和统计分析得出了一个现在被广泛使用的公式。O’ Carroll模型的假设条件是:
(1) L=k1Aa, a<1 (2) A=k2Lb, b<2 (3) B-Bo =k3L3
假设(1)、(2)是解剖学中的统计规律,在假设(3)中O’ Carroll将体重划分成两部分:B=B0+B1,B0为非肌肉重量。
故有:
根据三条假设可得L=k(B-B0)β,k和β为两个常数,
此外,根据统计结果,他得出B0≈35公斤,
k越大成绩越好。因而建议根据的大小来比较选手成绩的优劣。
模型5(Vorobyev公式)
这是一个前苏联使用的公式。建模者认为举重选手举起的不光是重物,也提高了自己的重心,故其举起的总重量为L+B,可以看出,他们更重视的是腿部肌肉的爆发力。应用与模型4类似的方法,得出了按
的大小比较成绩优劣的建议。
上述公式具有各不相同的基准,无法相互比较。为了使公式具有可比性,需要对公式稍作处理。例如,我们可以要求各公式均满足在 B=75公斤时有 L’=L,则上述各公式化为:
(1)Austin公式:
(2)经典公式:
(3)O’ Carroll公式:
(4)Vorobyev公式:
将公式(1)—(4)用来比较1976年奥运会的抓举成绩,各公式对九个级别冠军成绩的优劣排序如表所示,比较结果较为一致,例如,对前三名的取法是完全一致的,其他排序的差异也较为微