数学建模概论 (5).ppt

文档介绍：§ 方桌问题
将一张四条腿的方桌放在不平的地面上,不
允许将桌子移到别处,但允许其绕中心旋转
,是否总能设法使其四条腿同时落地?
不附加任何条件,答案
显然是否定的,
因此我们假设
(1)地面为连续曲面(2)方桌的四条腿长度相同(3)相对于地面的弯曲程度而言,方桌的腿是足够长的(4)方桌的腿只要有一点接触地面就算着地。
总可以使三条腿同时着地。
现在,我们来证明:如果上述假设条件成立,那么答案是肯定的。以方桌的中心为坐标原点作直角坐标系如图所示,方桌的四条腿分别在A、B、C、D处,A、C的初始位置在x轴上,而B、D则在y轴上,当方桌绕中心0旋转时,对角线 AC与x轴的夹角记为θ。
容易看出,当四条腿尚未全部着地时,腿到地面的距离是不确定的。为消除这一不确定性,令 f(θ)为A、C离地距离之和,g(θ)为B、D离地距离之和,它们的值由θ唯一确定。由假设(1),f(θ)、g(θ)均为θ的连续函数。又由假设(3),三条腿总能同时着地, 故f(θ)g(θ)=0必成立( θ)。不妨设f(0)=0,g(0)>0(若g(0)也为0,则初始时刻已四条腿着地,不必再旋转),于是问题归结为:
y
x
θ
C
D
A
B
o
已知f(θ)、g(θ)均为θ的连续函数,f(0)=0,g(0)>0且对任意θ有f(θ)g(θ)=0,求证存在某一θ0,使f(θ0)=g(θ0)=0。
(证法一)当θ=π/2时,AC与BD互换位置,故f(π/2)>0 , g(π/2)=0。作h(θ)=f(θ)-g(θ),显然,h(θ)也是θ的连续函数,h(0)=f(0)-g(0)<0而h(π/2)=f(π/2)