文档介绍：第四章第二节
方差
上一讲我们介绍了随机变量的数学期望,它体现了随机变量取值的平均水平,是随机变量的一个重要的数字特征.
但是在一些场合,仅仅知道平均值是不够的.
例如,某零件的真实长度为a,现用甲、乙两台仪器各测量10次,将测量结果X用坐标上的点表示如图:
若让你就上述结果评价一下两台仪器的优劣,你认为哪台仪器好一些呢?
乙仪器测量结果
甲仪器测量结果
较好
测量结果的均值都是 a
因为乙仪器的测量结果集中在均值附近
又如,甲、乙两门炮同时向一目标射击10发炮弹,其落点距目标的位置如图:
你认为哪门炮射击效果好一些呢?
甲炮射击结果
乙炮射击结果
乙较好
因为乙炮的弹着点较集中在中心附近.
中心
中心
为此需要引进另一个数字特征,用它来度量随机变量取值在其中心附近的离散程度.
这个数字特征就是我们这一讲要介绍的
方差
一、方差的定义
采用平方是为了保证一切
差值X-E(X)都起正面的作用
由于它与X具有相同的度量单位,在实际问题中经常使用.
设X是一个随机变量,若E{[X-E(X)]2}<∞,则称
Var(X)=E{[X-E(X)]2 } (1)
为X的方差.
注:有的书上记作D(X)
若X的取值比较分散,则方差较大.
若方差Var(X)=0,. X 以概率1取常数值.
方差刻划了随机变量的取值对于其数学期望的离散程度.
若X的取值比较集中,则方差较小;
Var(X)=E[X-E(X)]2
X为离散型,
P{X=xk}=pk
由定义知,方差是随机变量X的函数
g(X)=[X-E(X)]2的数学期望.
X为连续型,
X~f(x)
二、计算方差的一个简化公式
Var(X)=E(X2)-[E(X)]2
展开
证:Var(X)=E[X-E(X)]2
=E{X2-2XE(X)+[E(X)]2}
=E(X2)-2[E(X)]2+[E(X)]2
=E(X2)-[E(X)]2
利用期望
性质
请自己用此公式计算常见分布的方差.
例1 . X服从几何分布,概率函数为
P(X=k)=p(1-p)k-1, k=1,2,…,n
其中0<p<1,求Var(X)
解:
记q=1-p
求和与求导
交换次序
无穷递缩等比
级数求和公式