文档介绍：第四章第三节
协方差与相关系数
任意两个随机变量X和Y的协方差,记为Cov(X,Y), 定义为
⑶ Cov(X1+X2,Y)= Cov(X1,Y) + Cov(X2,Y)
⑴ Cov(X,Y)= Cov(Y,X)
一、协方差

⑵ Cov(aX,bY) = ab Cov(X,Y) a,b是常数
Cov(X,Y)=E{[ X-E(X)][Y-E(Y) ]}

Cov(X,Y)=E(XY) -E(X)E(Y)
可见,若X与Y独立, Cov(X,Y)= 0 .
3. 计算协方差的一个简单公式
由协方差的定义及期望的性质,可得
Cov(X,Y)=E{[ X-E(X)][Y-E(Y) ]}
=E(XY)-E(X)E(Y)-E(Y)E(X)+E(X)E(Y)
=E(XY)-E(X)E(Y)
即
若X1,X2, …,Xn两两独立,,上式化为
Var(X+Y)= Var(X)+Var(Y)+ 2Cov(X,Y)
4. 随机变量和的方差与协方差的关系
协方差的大小在一定程度上反映了X和Y相互间的关系,但它还受X与Y本身度量单位的影响. 例如:
Cov(kX, kY)=k2Cov(X,Y)
为了克服这一缺点,对协方差进行标准化,这就引入了相关系数.
二、相关系数
为随机变量X和Y的相关系数.
定义: 设Var(X)>0, Var(Y)>0,
称
在不致引起混淆时,记为.
关于XY的符号:
当XY > 0时,称X与Y为正相关.
当XY < 0时,称X与Y为负相关.
相关系数和协方差具有相同的符号,因此,前面关于协方差的符号意义的讨论可以移到这里. 即
正相关表示两个随机变量有同时增加或同时减少的变化趋势.
负相关表示两个随机变量有相反的变化趋势.
相关系数的性质:
证: 由方差的性质和协方差的定义知,
对任意实数b,有
0≤Var(Y-bX)= b2Var(X)+Var(Y)-2b Cov(X,Y )
令
,则上式为
Var(Y- bX)=
由方差Var(Y)是正的,故必有
1- ≥ 0,所以| |≤1。
2. X和Y独立时, =0,但其逆不真.
由于当X和Y独立时,Cov(X,Y)= 0.
故
= 0
但由
并不一定能推出X和Y 独立.
请看下例.
证明:
例 1
设(X,Y)服从单位圆域x2+y2≤1
上的均匀分布,证明: XY =0。