文档介绍：第五章第二节
中心极限定理
中心极限定理的客观背景
在实际问题中,常常需要考虑许多随机因素所产生总影响.
例如:炮弹射击的落点与目标的偏差,就受着许多随机因素的影响.
空气阻力所产生的误差,
对我们来说重要的是这些随机因素的总影响.
如瞄准时的误差,
炮弹或炮身结构所引起的误差等等.
观察表明,如果一个量是由大量相互独立的随机因素的影响所造成,而每一个别因素在总影响中所起的作用不大. 则这种量一般都服从或近似服从正态分布.
自从高斯指出测量误差服从正态分布之后,人们发现,正态分布在自然界中极为常见.
现在我们就来研究独立随机变量之和所特有的规律性问题.
当n无限增大时,这个和的极限分布是什么呢?
在什么条件下极限分布会是正态的呢?
由于无穷个随机变量之和可能趋于∞,故我们不研究n个随机变量之和本身而考虑它的标准化的随机变量
的分布函数的极限.
的分布函数的极限.
可以证明,满足一定的条件,上述极限分布是标准正态分布.
考虑
中心极限定理
这就是下面要介
绍的
在概率论中,习惯于把和的分布收敛于正态分布这一类定理都叫做中心极限定理.
我们只讨论几种简单情形.
下面给出的独立同分布随机变量序列的中心极限定理,也称列维一林德伯格(Levy-Lindberg)定理.
定理1(独立同分布下的中心极限定理)
它表明,当n充分大时,n个具有期望和方差
.
设X1,X2, …是独立同分布的随机
变量序列,且E(Xi)= Var(Xi)= ,
i=1,2,…,则
定理(棣莫佛-拉普拉斯定理)
设随机变量服从参数n, p(0<p<1)的二项分布,则对任意x,有
定理表明,当n很大,0<p<1是一个定值时(或者说,np(1-p)也不太小时),二项变量的分布近似正态分布 N(np,np(1-p)).