文档介绍：第七章第三节
估计量的优良性准则
从前面两节的讨论中我们看到:
有时候同一个参数可以有几种不同的估计方法,这时就存在采用哪一个估计的问题.
另一方面,对一个参数,用矩法和极大似然法这两种方法即使得到的是同一种估计,也存在一个衡量这个估计优劣的问题.
估计量的优良性准则讨论的就是:
评价一个估计的标准问题.
假设总体分布的参数为.
对一切可能的成立,则称
一、无偏性
是的一个估计.
注意!,X2 ,,Xn不同的取值,
的均值等于未知参数, 即
为的无偏估计.
去估计未知参数,有时候可能偏高,有时候可能偏低,但是平均来说它等于.
“一切可能的”是指该参数估计问题中,参数取值范围内的一切可能的值.
我们之所以要求对一切可能的都成立,是因为在该参数估计问题中,我们并不知道参数的一切可能取值范围内都成立:
无偏性的意义是,用一个估计量
说明
设X1,X2 ,,Xn为抽自均值为的总体X的样本,考虑的估计量:
我们举例体会怎样把握“一切可能的”.例如:
若指的是正态总体N(,2)的均值,那么,它的一切可能取值范围是(-∞,∞).
若指的是方差2,则它的一切可能取值范围是(0,∞).
例1
设总体X的均值为,方差为2,
X1,X2 ,,Xn为来自该总体的样本,依第六章所讲取其样本均值和样本方差:
即样本均值和样本方差是和2的无偏估计.
定理
证明:
求证:样本标准差S不是总体标准差的无偏估计.
证明:
注意
例
∵E(S2)=2 ∴就是Var(S)+[E(S)]2 =2
∵Var(S)≥0 ∴[E(S)]2 =2 -Var(S)≤2 ∴E(S)≤.即:一般说S不是的无偏估计.
用估计量
去估计,其误差为:
它随样本X1,X2 ,,Xn的值而定,也是随机的,即:
二、均方误差准则
是随机变量·
由于它是随机变量,我们通常是通过对它求均值来看看误差有多大.
我们要注意:为了防止求均值时正误差和负误差相互抵消,我们先将其平方再求均值,并将其称为均方误差,记为MSE(),即