文档介绍：第七章第四节
正态总体的区间估计
(一)
引言
前面,我们讨论了参数点估计. 它是用样本算得的一个值去估计未知参数. 但是,点估计值仅仅是未知参数的一个近似值,它没有反映出这个近似值的误差范围,使用起来把握不大. 区间估计正好弥补了点估计的这个缺陷.
譬如,在估计湖中鱼数的问题中,若我们根据一个实际样本,得到鱼数N的极大似然估计为1000条.
若我们能给出一个区间,在此区间内我们合理地相信 N 的真值位于其中. 这样对鱼数的估计就有把握多了.
实际上,N的真值可能大于1000条,
也可能小于1000条.
也就是说,我们希望确定一个区间,使我们能以比较高的可靠程度相信它包含真参数值.
湖中鱼数的真值
[ ]
这里所说的“可靠程度”是用概率来度量的,称为置信概率,置信度或置信水平.<br作
,这里是一个
很小的正数.
置信水平的大小是根据实际需要选定的.
例如,通常可取置信水平=.
根据一个实际样本,由给定的置信水平,我
小的区间,使
们求出一个尽可能
置信水平为
的
置信区间,其中为两个统计量.
称区间为的
寻找置信区间的方法,一般是从确定误差限入手.
使得
称为与之间的误差限.
我们选取未知参数的某个估计量,根据置信水平,可以找到一个正数,
只要知道的概率分布,确定误差限并不难.
下面我们就来正式给出置信区间的定义,并通过例子说明求置信区间的方法.
由不等式
可以解出:
这个不等式就是我们所求的置信区间.
前面已经给出了概率分布的上侧分位数(分位点)的定义,为便于应用,这里我们再简要复习一下.
在求置信区间时,要查表求分位数.
设0< <1, 对随机变量X,称满足
的点为X的概率分布的上分位数.
例如:
标准正态分布的
上分位数
例如:
分布的上分位数
自由度为n的