文档介绍：第一章1-4节
1、计算下列极限
7）
分析：本题分子分母同时趋近于0，根据表达式的形式，考虑利用约分将趋于0的项约去。
解：原式
9）
分析：本题分子分母同时趋于0，但不能约分，利用复合函数求极限，通过变量替换进行求解
解一：令。
解二：利用三角函数的和差化积，以及等价替换
11）(应该为4)
13）
本题利用了分子有理化
2、计算下列极限
1）
解：因为，无穷小与有界函数之积仍然为无穷小，所以
原式=0
2）
3）
第一章1-5节
1、计算下列极限
2）
解法2：原式
5）
解法2：原式
7）
分析：本题利用了变量替换和等价替换
9）
分析：时，。利用
10）
2、计算下列极限
1）
3）
6）
7）
8）
3、利用夹逼准则证明：
1）
证明：令，，（或）
则，且，根据夹逼准则，
2）
证明：令，，（或）
则，且，根据夹逼准则，
3）
证明：令，，，则。因为，所以，因而。
4）
证明：，，
所以
（B）
1、计算下列极限：
1）
2）
3）
4）
5）
6）
7）
8）
3、要使，其中的常数应取何值？
解：，则.
1-6
5、利用等价无穷小的代换性质，计算下列极限
1）
2）
3）
4）
5）
6）
7）
8）
（B）
2、设，如果时，是无穷小量，则与应如何选择？
解：根据题意，，因此。
3、计算下列极限
1）
2)
3)
4)
5)

7)
8) 9)
1-8
A-1、证明方程至少有一根在1与2之间。
证明：，，而上是连续函数，根据零点存在定理，在之间存在零点，即方程至少有一根在1与2之间。
A-2、设，，证明方程至少有一正根，并且它不超过。
证明：令，则
若，则为方程的一个根。否则，根据零点存在定理，至少有一根位于。命题成立。
A-3、证明方程有且只有一个小于1的正根。
证明：令，则，根据零点存在定理，在至少存在一个根。另一方面，令，，，
，
所以为上的严格单调增加的函数，因此原方程有且只有一个小于1的正根。
A-4、设函数在上连续，且，证明方程在上至少存在一根。
证明：令，则，，因为，所以，，若，则0和1均为原方程的根。否则，根据零点存在定理，原方程在上至少有一根。证明完毕。
A-5、设函数在上连续，且它的值域也是，证明至少存在一点，使。
证明：令，则。若或，则命题成立。否则，，根据零点存在定理，命题依然成立。
B-3、设函数在上连续，。证明，至少存在一点，使得
。
证一：令，因为在上连续，则在上连续。令在和处分别取得上的最大值和最小值，因为
所以。若或，则命题成立。否则，根据零点存在定理，至少存在一点，使，故原命题依然成立。
证二：令在上的最大和最小值为和，
根据介值定理，至少存在一点，使得。
第二章
2-1
B-3、设，讨论在处的连续性与可导性。
解：，，显然在处连续。又，
，因此在处可导。
B-4、函数
，所以连续
，所以可导
B-5、设存在，且，求
解：。
B-6、设函数在处可导，求。
极限存在的充要条件是，。
B-7、函数在第一类间断处能否同时存在左导数和右导数。
解：因为。若左导数存在，则
，即。
同理左导数存在，则，即。可见在第一类间断处左、右导数不可能同时存在，否则连续，与已知条件矛盾。
B-8、设，其中在处连续，求。
解：
2-2
A-3、1）
解：
A-3、3）
解：
A-3、4）
解：
A-3、5）
解：
A-3、7）
解：
A-3、8）
解：
A-4、1)
解：
A-4、2)
解：
A-4、3)
解：
A-4、4)
解：
A-4、5)
解：
A-4、6)
解：
A-4、7)
解：
A-4、8)
解：
A-8、1)
解：，
A-8、2)
解：，
A-8、3)
解：，
A-8、4)
解：，