文档介绍：用迭代法解线性方程组
Jacoai迭代和Seidel迭代由于收敛速度较慢,已经越来越不适应当前信息时代人们对计算速度和精度的要求,所以在实际应用中使用得并不多。但是,他们体现了迭代法的最基本的思想,是学习其它迭代法的基础。
引言
直接法是通过有限步运算后得到线性方程组的解,解线性方程组还有另一种解法,称为迭代法,它的基本思想是将线性方程组 Ax=b 化为
x=Bx+f
再由此构造向量序列{x (k)}:
x(k+1)=Bx (k)+f
若{x (k)}收敛至某个向量x *,则可得向量x *就是所求方程组 AX=b 的准确解.
线性方程组的迭代法主要有Jocobi迭代法、Seidel迭代法和超松弛(Sor)迭代法.
迭代法的特点
若在求解过程中 xkx*(k),由 xk+1=(xk)产生的迭代 xk向x*的逼近,在数次迭代求解之后,由于机器跳动产生的xk值误差或是有效数字产生的舍入误差,都会在第k+1次迭代计算中自动弥补过来或逐步纠正过来。因此,在迭代求解过程中产生的各种误差是可以忽略的,即迭代求解无累积误差,实际上, xk只是解的一个近似,机器的舍入误差并不改变它的此性质。
迭代过程中经常要遇到向量范数,矩阵范数以及序列极限的概念。为此,下面先介绍这方面的知识和有关概念。
单击此处即可
几个基本概念及性质
1. 向量范数:

对任一向量X,按一定规则确定一个实数与其相对应,该实数记为||X||,若||X||满足下面三个性质:
(1)||X||0,||X||=0当且仅当X=0。
(2)对任意实数,||  X||=| | ||X||。
(3)对任意向量YRn,||X+Y||||X||+||Y||。
则称该实数||X||为向量X的范数
2 .矩阵范数:设A是NN 阶矩阵,定义
||A|| = Max(||AX|| / ||X||)= Max ||AX||
x0,xRn ||x||=1,xRn
为矩阵A的(算子)范数。
||Ax|| ||A|| ||x||
三种常用的向量范数:
例:设 x=(1 , -4, 0, 2)T 求它的向量范数
三种常用的矩阵范数:
例:设 A,求它的矩阵范数
矩阵范数的性质:
(1)对任意非零矩阵A,有||A||恒为正数,当且仅当A=0,||A||=0.
(2)||aA||=|a|||A||(a为任意实数)
(3)对于任意两个阶相同的矩阵A,B恒有||A+B||||A||+||B||.
(4)对于与矩阵A有相同维数的向量X,恒有||AX|| ||A||||X||.
(5)对于同阶矩阵A,B 恒有||AB|| . ||A|| ||B||
谱半径:
设 nn 阶矩阵A的特征值为 i(i=1,2,3……n),则称
(A)=MAX | i| 为矩阵A的谱半径.
1 in
矩阵范数与谱半径之间的关系为: (A) ||A||.
单击此处
试做例题
5 几个定理及定义
设{x(k)}为 Rn中的向量序列, x(*)为Rn中的向量
对矩阵也有类似的结论
下一页
如果矩阵 A=(aij)满足
n
|aii|> |aij| i=1,2,……n,
j=1,ji

则称方阵A是严格(行)对角占优的.
a11 a12 a13 … a1n
a21 a22 a23 … a2n
A= ……………=L+D+U
an1 an3 an4 … ann
-4 2 1
例矩阵 A= 1 -9 7
2 -6 10
U
L
D
Jacobi 迭代
一: 设有方程组
a11x1+a12x2+····+a1nxn=b1
a21x1+a22x2+····+a2nxn=b2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
an1x1+an2x2+····+annxn=bn
用矩阵表示:
Ax =b
(A 为系数矩阵,非奇异;b为右端,x为解向量)
}
上一页