文档介绍：考试试卷册
(2005—2006学年第1学期)
考试科目线性代数
出卷教师
使用班级
考试日期 2005/12/18
中国科学技术大学教务处
中国科学技术大学
2005—2006学年第1学期考试试卷
考试科目: 线性代数得分:
学生所在系: 姓名: 学号:
填空题(每空4分,共20分)
(1)设3阶方阵,其中为3维列向量。若,则
(2)设为阶可逆方阵,则
(3)设为阶方阵,,为的伴随方阵,则
(4)设为线性空间的一组基,则从基到基的过渡矩阵为
(5)设实二次型是定正的,则的取值范围是
下列命题是否正确,并简要说明理由。(每题5分,共20分)
和相抵。
和相似。
任意阶实方阵满足。
不存在阶实方阵使得。
(15分)实数取何值时,方程组无解,有唯一解,或有无穷多解?当方程组有无穷多解时,求其通解。
(15分)设3维实线性空间上线性变换将向量,分别映到向量。求在基下的矩阵。
(15分)设。求正交方阵,使得为对角方阵。
(8分)设在线性空间中,向量可由向量组线性表出,但不可由线性表出。证明:可由线性表出。
(7分)设阶实方阵。证明:。
参考答案及评分标准
一(每空4分,共20分)
(1)6 (2) (3) (4) (5)
二(每题判断对错1分,说明理由4分,共20分)
正确。因为。
错误。因为,相似。
错误。例如,。
正确。因为,。
三(15分)方程组可写为,其中 1分
3分
当时,方程组有唯一解 3分
当时,,,方程组无解 3分
当时,,方程组有无穷多解 3分
此时方程组化为,通解为。 2分
四(15分)在下的坐标分别为
6分
在下的矩阵为 3分
3分
3分
五(15分)的特征多项式 4分
4分
4分
令,则 3分
六(8分)因为可由向量组线性表出,可设,其中为常数。 3分
又因为不可由线性表出,所以, 3分
所以可由线性表出。 2分
七(7分)由得 3分
又 3分
所以 1分