文档介绍：a
b
c
d
x





第三章射影变换____§1 一维射影变换
1. 透视对应
一线束与一点列间的一一对应,若使束中每一直线过其对应点(等价地,使列中每一点在其对应直线上),则称此对应为透视对应,简称透视.
从线束到点列的透视称为截影.
从点列到线束的透视称为投影.
如右图,
a,b,c,d,
是以 x 为心的线束被以为底的点列截得的截影.
而a,b,c,d,是投影.
a
b
c
d
x





§1 一维射影变换
定理1 点列与线束间的透视保持交比不变.
() 1( ) 2(),() 1( ) 2().
从而() () () [1( ) 2()] ()
1( ) () 2() ()
1( ) 2(),
即( c ) 1( a ) 2(b ).
同理( d ) 1( a ) 2(b ).
因此(ab; cd) 21/12 (; ).
证明:如右图,在线束 x 中取、为基线,则
§1 一维射影变换
同类一维基本形间的透视:
a/
d/
/
x
a
b
c
d
b/
c/

/
x/
/
/
/





x
若两个线束是同一点列的投影,则称这两个线束是透视的.
若两个点列是同一线束的截影,则称这两个点列是透视的.
点列的底称为透视轴.
线束的心称为透视中心.
透视线束的等价定义是它们的对应直线交点共线.
透视点列的等价定义是它们的对应点连线共点.
如前面三图中的透视分别记为:
§1 一维射影变换
写在记号“”上方的文字表示透视中心或透视轴.
记号:用“”表示透视.
{, , , } {a, b, c, },
{ a, b, c, } {a/, b/, c/, },
x
{, , , } {/, /, /, },

a/
d/
/
x
a
b
c
d
b/
c/

§1 一维射影变换
定理2 透视保持交比不变.
证明:由定理1及对偶原理,只需证二点列情形.
注意:{xa, xb, xc, }可简写为 x{a, b, c, }.
故(ab; cd) (xa, xb; xc, xd) (a/b/; c/d/).
若{a, b, c, d, } {a/, b/, c/, d/, },则
x
{a, b, c, d, } x{a, b, c, d, } {a/, b/, c/, d/, },
§1 一维射影变换
例1 设 abcd 为平行四边形,过顶点 a 作直线 ae 与对角线 bd :直线 ab、ad 与直线 ac、ae 成调和共轭.
a
o
d
c
b
p
e
故(ab, ad; ac, ae) (bd; op).
因平行四边形对角线互相平分,故(bd; op)  1.
所以(ab, ad; ac, ae)  1.
a{b, d, c, e} {b, d, o, p},
证明:因 ae 与 bd 平行,故设二者交点为无穷远点 p.
记(ac)(bd) 
x
y
z
a
b
u
c
d
m
n
§1 一维射影变换
例2 求证:完全四点形的一边上的二顶点,两条对角线与此边的二交点,四点成调和共轭.(可作结论使用)
故(uz; ab) (yz; mn) 1.
这表明在边 ab上,a、b与 u、z 成调和共轭.
证明:如图,由完全四点形的对角线上的调和共轭性质,
有(yz; mn) 1.
又以点 x 为中心,有{u, z, a, b} {y, z, m, n},
§1 一维射影变换
2. 一维基本形之间的射影对应
一维基本形 I 与 II 之间的一一对应 T: III,若保持交比不变,则称为射影对应.
关于射影对应的表达式,有
定理3 两个一维基本形之间的射影对应是非退化的线性变换:
证明:不妨设两个一维基本形 I 与 II 均为点列.
在 I 上取定三点 u、v、t,使其在 II 上的对应点依次为 II 的坐标系/ [u/, v/; t/] 中的基点和单位点.
a11 a12 1
a21 a22 2



/1
/2

T: 
,det(aij)  0. ()

