文档介绍：章节题目
第五节函数的极值及其求法
内容提要
函数极值的定义
函数极值的求法
重点分析
极值的概念
求函数极值的步骤
难点分析
函数极值点的确定
习题布置
:1(3)(9)(12)(14)、2、3
备注
教学内容
一、函数极值的定义

定义:
函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.
二、函数极值的求法
定理1(必要条件):设在点处具有导数,且在处取得极值,那末必定
定义:
注意:
例如,
定理2(第一充分条件)
(1)如果有而,有,则
在处取得极大值.
(2)如果有而有,则在处取得极小值.
(3)如果当及时, 符号相同,则在处无极值.
(是极值点情形)
(不是极值点情形)
求极值的步骤:
例1
解:
列表讨论
极大值
极小值
图形如下
定理3(第二充分条件) 设在处具有二阶导数,且, ,那末
(1)当时, 函数在处取得极大值;
(2)当时, 函数在处取得极小值.
证:
=0
=0
所以,函数在处取得极大值
例2
解:

=60

图形如下
注意:
注意:函数的不可导点,也可能是函数的极值点.
例3:
解:

三、小结
极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极小值,极小值可能大于极大值.
驻点和不可导点统称为临界点.
函数的极值必在临界点取得.
判别法:1、第一充分条件;2、第二充分条件; (注意使用条件)
思考题
下命题正确吗?
如果为的极小值点,那么必存在的某邻域,在此邻域内,在的左侧下降,而在的右侧上升.
思考题解答
不正确.
例
当时,
于是为的极小值点
当时,
当时, 在–1和1之间振荡
因而在的两侧都不单调.
故命题不成立.