文档介绍：§4 两个重要的极限
一  证明    [重要极限演示]
 
 
 
 
 
 
 
证  §1例4中我们已导出如下不等式
  ().
除以,得到,由此得
                       (1)
在(1)式中用代替时,(1)式不变,故
(1)式当 时也成立,从而它对一切满足不等式 的 都成立.
由  及函数极限的迫敛性,即得 .
 
 
 
 
 
 
 
函数 的图象如右图所示.
例1 求
解令,则,
                     
例2 求 
解==
二证明 
y='(1+1/x)^x';ezplot(y,[10,100])  
 
 
 
 
  
 
证所求证的极限等价于同时成立以下两个极限
                          (2)
                           (3)
先利用数列极限 证明(2)式成立.
为此,作定义在上的两个阶梯函数如下:
,,
,,
易见增(第二章§3习题4)且有上界, 减(第二章§3习题9),
,由归结原则(取=)得到
=
=
另一方面,当时有
  以及 ,
即有
,.
从而根据迫敛性,定理(2)式得证.
现证(3),则
,
且当 时,从而有
=
以后还常用到的另一种极限形式:
(4)
事实上,令,则,所以
=
例3 求
解=
例4  求
解  令,  则当 时,因此
==
例5  求 
解  .
 另一方面,当时有
而由归结原则(取),
==
于是,由数列极限的迫敛性得