文档介绍：第一章
二、收敛数列的性质
三、极限存在准则
一、数列极限的定义
第二节
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数列的极限
数学语言描述:
一、数列极限的定义
引例.
设有半径为 r 的圆,
逼近圆面积 S .
如图所示, 可知
当 n 无限增大时,
无限逼近 S (刘徽割圆术) ,
当 n > N 时,
用其内接正 n 边形的面积
总有
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定义:
自变量取正整数的函数称为数列,
记作
或
称为通项(一般项) .
若数列
及常数 a 有下列关系:
当 n > N 时,
总有
记作
此时也称数列收敛, 否则称数列发散.
几何解释:
即
或
则称该数列
的极限为 a ,
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例如,
趋势不定
收敛
发散
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例1. 已知
证明数列
的极限为1.
证:
欲使
即
只要
因此, 取
则当
时, 就有
故
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例2. 已知
证明
证:
欲使
只要
即
取
则当
时, 就有
故
故也可取
也可由
N 与有关, 但不唯一.
不一定取最小的 N .
说明:
取
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例3. 设
证明等比数列
证:
欲使
只要
即
亦即
因此, 取
, 则当 n > N 时,
就有
故
的极限为 0 .
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二、收敛数列的性质
证: 用反证法.
及
且
取
因
故存在 N1 ,
从而
同理, 因
故存在 N2 ,
使当 n > N2 时, 有
1. 收敛数列的极限唯一.
使当 n > N1 时,
假设
从而
矛盾.
因此收敛数列的极限必唯一.
则当 n > N 时,
故假设不真!
满足的不等式
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例4. 证明数列
是发散的.
证: 用反证法.
假设数列
收敛,
则有唯一极限 a 存在.
取
则存在 N ,
但因
交替取值 1 与-1 ,
内,
而此二数不可能同时落在
长度为 1 的开区间
使当 n > N 时, 有
因此该数列发散.
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2. 收敛数列一定有界.
证: 设
取
则
当
时,
从而有
取
则有
由此证明收敛数列必有界.
说明: 此性质反过来不一定成立.
例如,
虽有界但不收敛.
有
数列
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