文档介绍：基于MATLAB的数值分析
以软件MATLAB作为辅助工具介绍数值分析(科学与工程计算)的基本内容,注重讲授一些求解方程以及结果可视化的知识和技巧,使同学们能够有效地解决问题并处理计算结果。
内容包括:
1、MATLAB编程和绘图
2、数值分析的数学基础
3、数值算法在工程、科学中的应用
第一章 MATLAB入门
1、MATLAB的命令窗口
工作都在此处完成。
2、怎样进行计算
运算对象:矩阵
算术运算符:+ - * ^ .* ./ .^
倒除:\ a\b=b/a
变量与变量名:变量名和变量名类型不需声明。
3、数据显示格式
默认格式:5位(format short)
format long 16位
format e 短的浮点格式
format long e 长的浮点格式
4、清除命令
clear:清除所有使用过的变量或某个(些)变量
clc: 清除命令窗口
5、程序结构
分支:if __else__end; if__elseif__end; if__break__end
循环:for__end; while__end
6、读写
输入数据:z=input(‘type youe input:’) 键盘输入
格式化输出:fprintf(‘e_format % \n’,vol)
7、数学函数
8、功能函数
sort(x) sum(x) max(x) min(x) mod(x,y) rand(n) eval(s)
9、编程(编写M文件)
10、绘图
第二章数值代数
内容:数值代数就是研究有关矩阵计算的问题。主要包括:
1、线性代数方程组的求解;
2、矩阵特征值问题
要求:1、掌握用MATLAB求解的方法
2、知道那些问题是困难的,那些问题是不可解的。
A=zeros(m,n) m行n列的零矩阵
I=eye(n) n阶单位矩阵
A=ones(m,n) 元素均为1
A’ A的转置
A(:,k) A(k,:) A(m1:m2,n1:n2)
inv(A) A的逆
size(A) A的大小
hilb(n) Hilbert矩阵
矩阵
情况1:m=n(正规方程),最常见;
情况2:m<n(不定方程);
情况3:m>n(超定方程);
本节只介绍情况1。
MATLAB命令:
解线性代数方程组的MATLAB命令
线性代数方程组并不总是数值可解的。只有当矩阵A的行列式不为零时才行!矩阵A的行列式即使不为零,但当很小或很大时,解的误差可能很大。
计算矩阵行列式的MATLAB命令:
病态问题
有许多线性代数方程组理论上是可解的,但实际计算中由于受到舍入误差的影响而无法得到精确解。此类问题成为病态问题。
病态问题的计算过程中,小的舍入误差或系数矩阵的微小变化都可能使解产生很大误差。(例子 P97)
不可解问题
病态矩阵的一个重要标志是条件数:
MATLAB命令:
当矩阵是病态时,其条件数一定很大,但它并不能直接说明解的误差。
线性方程组解的误差程度也取决于计算环境的精度。条件数和行列式与计算环境是相互独立的。所以大条件数或小行列式未必意味无法直接精确求得线性方程组的解,它只意味着有很大误差可能。而实际上如果采用更高精度的计算环境则很可能得到非常满意的解。
Hilbert矩阵是非常著名的病态矩阵(hilb(n)),它经常用来检验算法的数值稳定性的好坏。
两种原因使我们想了解求解线性代数方程组的算法。一是实际工作中要用其它计算机语言(Fortran&C等)编写应用程序;二是MATLAB处理大型稀疏矩阵方程组显得很笨拙或无能为力。
线性代数方程组的求解方法(算法)
由线性代数的理论: