第5章 代数系统的基本概念.ppt

文档介绍：第5章代数系统的基本概念
二元运算及其性质
代数系统
代数系统的同态与同构
例题选解
习题五
二元运算及其性质
集合中的代数运算实质上是集合中的一类函数。
设A是集合,函数f:An→A称为集合A上的n元代数运算(operators),整数n称为运算的阶(order)。
当n=1时,f:A→A称为集合A中的一元运算。
当n=2时,f:A×A→A称为集合A中的二元运算。
一般地,二元运算用算符。,*,·,Δ,◇等等表示,并将其写于两个元素之间,如Z×Z→Z的加法。
F(〈2,3〉)=+(〈2,3〉)=2+3=5
注意到RanfA,即运算结果是A中的元素,这称为运算的封闭性。另外,运算是函数,要具备函数所具有的对每一个自变元有唯一的像的特性。
【】下面均是一元运算的例子。
(1)在Z集合上(或Q,或R),
f:Z→Z,x∈Z,f(x)=-x。
(2)在A={0,1}集合上,f:A→A,p∈A,
f(p)=﹁p,﹁表示否定。
(3)在R+集合上,f:R+→R+,
x∈R+,f(x)= 1/2 (但在R上,倒数不是一元运算,因为0无像)。
【】下面均是二元运算的例子。
(1)在Z集合上(或Q,或R),f:Z×Z→Z,
〈x,y〉∈Z2,f(〈x,y〉)=x+y(或f(〈x,y〉)=x-y
或f(〈x,y〉)=x·y),如f(〈2,3〉)=5。
(2)A为集合,P(A)为其幂集。f:P(A)×P(A)→P(A)。f可以是∩、∪、-、。
(3)A={0,1}。f:A×A→A。f可以是∧、∨、→、。
(4)AA={f|f:A→A}。(复合)是AA上的二元运算。
当A是有穷集合时,运算可以用运算表给出。如A={0,1,2,3,4,5},二元运算。。
表
表
*
0 1
0
1
0 0
0 1
事实上,,我们可观察看出其运算为
(〈x,y〉)=x·y(mod3)
其中,·是普通乘法。
,此时的*运算应是在集合{0,1}上的∧(逻辑合取运算符)。下面介绍二元运算的性质。
设*,。均为集合S上的二元运算。
(1)若xyz(x,y,z∈S→x*(y*z)=(x*y)*z),则称*运算满足结合律。
(2)若xy(x,y∈S→x*y=y*x),则称*运算满足交换律。
(3)若xyz(x,y,z∈S→x*(y。z)=(x*y)。(x*z)),则称*运算对。运算满足左
分配律;若xyz(x,y,z∈S→(y。z)x=(y*x)。(z*x)),则称*运算对。运算满足右分配律。若二者均成立,则称*运算对。运算满足分配律。