第八章 方向导数与梯度.ppt

文档介绍：方向导数与梯度
实例:一块长方形的金属板,四个顶点的坐标是(1,1),(5,1),(1,3),(5,3).在坐标原点处有一个火焰,(3,2)处有一个蚂蚁,问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点?
问题的实质:应沿由热变冷变化最骤烈的方向(即梯度方向)爬行.
一、方向导数的定义
讨论函数在一点P沿某一方向的变化率问题.
当沿着趋于时,
是否存在?
记为
方向导数的几何意义
过直线
作平行于 z 轴的平面
与曲面 z = f ( x , y ) 所交的曲线记为 C
表示C 的割线向量
即
即
割线转化为切线
上式极限存在就意味着当点
趋于点
曲线C在点 P0 有唯一的切线
它关于方向的斜率
就是方向导数
L
C
M0
T
P0
P
M
l
证明
由于函数可微,则增量可表示为
两边同除以
得到
故有方向导数
解
解
由方向导数的计算公式知
故