文档介绍：第八章
第七节
一、方向导数
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二、梯度
三、物理意义
方向导数与梯度
一、方向导数
定义: 若函数
则称
为函数在点 P 处沿方向 l 的方向导数.
在点
处
沿方向 l (方向角为
) 存在下列极限:
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记作
定理:
则函数在该点沿任意方向 l 的方向导数存在,
证明: 由函数
且有
在点 P 可微,
得
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故
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对于二元函数
为, ) 的方向导数为
特别:
•当 l 与 x 轴同向
•当 l 与 x 轴反向
向角
例1. 求函数
在点 P(1, 1, 1) 沿向量
3) 的方向导数.
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解: 向量 l 的方向余弦为
例2. 求函数
在点P(2, 3)沿曲线
朝 x 增大方向的方向导数.
解:将已知曲线用参数方程表示为
它在点 P 的切向量为
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例3. 设
是曲面
在点 P(1, 1, 1 )处
指向外侧的法向量,
解:
方向余弦为
而
同理得
方向
的方向导数.
在点P 处沿
求函数
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二、梯度
方向导数公式
令向量
这说明
方向:f 变化率最大的方向
模: f 的最大变化率之值
方向导数取最大值:
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1. 定义
即
同样可定义二元函数
称为函数 f (P) 在点 P 处的梯度
记作
(gradient),
在点
处的梯度
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说明:
函数的方向导数为梯度在该方向上的投影.
向量
2. 梯度的几何意义
函数在一点的梯度垂直于该点等值面(或等值线) ,
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称为函数 f 的等值线.
则L*上点P 处的法向量为
同样, 对应函数
有等值面(等量面)
当各偏导数不同时为零时,
其上
点P处的法向量为
指向函数增大的方向.