第十二章 格林函数法.ppt

文档介绍：数学物理方法
格林函数法
格林函数法
格林函数的一般概念
稳定问题的基本解
稳定问题的格林函数
演化问题的基本解
演化问题的格林函数
本章小结
格林函数的一般概念
概念
定义:纯点源产生的场
(不计初始条件和边界条件的影响)。
例子:
ΔG = δ(r-r’),G|Γ=0
(t – a2Δ) G = δ(r-r’)δ(t-t’), G|Γ= G|t=0=0
一般形式
L G(xi) = δ(xi-xi’)
G|边界= G|初始=0
格林函数的一般概念
分类:
按泛定方程可以分为:
稳定问题的格林函数 L = Δ
热传导问题的格林函数 L = (t – a2Δ)
波动问题的格林函数 L = (tt – a2Δ)
按边界条件可以分为
无界空间的格林函数,又称为基本解;
齐次边界条件的格林函数。
格林函数的一般概念
格林函数
稳定问题
ΔG
= δ(r-r’)
输运问题
(t – a2Δ) G
= δ(r-r’)δ(t-t’)
G|t=0=0
波动问题
(tt – a2Δ) G
=δ(r-r’)δ(t-t’)
G|t=0=0
Gt|t=0=0
无界空间
泊松方程的基本解
热传导方程的基本解
波动方程的基本解
齐次边界
G|Γ= 0
泊松方程的格林函数
热传导方程的格林函数
波动方程的格林函数
格林函数的一般概念
性质:
设数学物理方程为 L u(x) = f (x)
而格林函数方程为 L G(x) =δ(x-x’)
在相同的齐次定解条件下
因为: f(x) =∫f (x’)δ(x-x’) dx’
所以: u(x) =∫f (x’) G(x-x’) dx’
应用(求解数学物理方程的格林函数法)
范围:非齐次泛定方程、齐次定解条件
程序:先求出对应的格林函数,再积分得待求函数
稳定问题的基本解
原问题
点源问题
点电荷电场
方程
解
稳定问题的基本解可以利用静电场类比法得到
稳定问题的格林函数
原问题
点源问题
关系
基本思路
稳定问题的格林函数
求解方法
稳定问题的格林函数也可以利用静电场类比法得到。
点源问题可以看成接地的导体边界内在 r’处有一个电量为- ε0 的点电荷。
边界内部的电场由点电荷与导体中的感应电荷共同产生。
在一些情况下,导体中所有感应电荷的作用可以用一个设想的等效电荷来代替,该等效电荷称为点电荷的电像。
这种方法称为电像法
稳定问题的格林函数
例题
在半空间内求解稳定问题的格林函数
解:根据题目,定解问题为
这相当于在接地导体平面上方点 M(x’,y’,z’) 处放置一个电量为- 0 的点电荷,求电势。
设想在M的对称点 N (x’,y’,-z’)处放置一个电量为+ ε0 的点电荷,容易看出在平面 z=0上电势为零,这表明在N点的点电荷就是电像。