文档介绍：第四章线性方程组
要求:
理解线性方程组有解定理及等价条件;理解齐次线性方程组有非零解的充分必要条件;
理解齐次线性方程组解的结构、基础解系的概念;掌握用初等变换求齐次线性方程组的(通)解的方法;
理解非齐次线性方程组解的结构及通解的概念;掌握用初等变换求非齐次线性方程组的(通)解的方法。
线性方程组有解的条件
知识点: 方程组有解定理及其等价条件.
, (1)
称作为n元非齐次线性方程组。其矩阵形式为
x
若,即, (2)
称其为方程(1)对应的齐次线性方程组。其矩阵形式为 x。
相容方程组(有解),不相容方程组(无解)或为矛盾方程组。
讨论方程组(1)有解的条件。
记,其中,则方程组(1)可等价写成向量形式:
。(3)
如此方程组(1)是否有解的问题转变为:能否由线性表示的问题。
由方程组的向量形式(3)可见,方程组(1)有解的充分必要条件是可由A的列向量组线性表示,也即向量组与向量组等价。这也等价于
秩= 秩,即.
定理1 对于线性方程组x,下列命题等价:
(1) x有解(或相容);
(2) 可由A的列向量组线性表示;
(3) 向量组与向量组等价;
(4) 。
在线性方程组x有解的前提下,考虑其解的不同情况。设,则
得同解方程组
(4)
(I)时,由Cramer法则知方程组(4)(即(1))有唯一解x0
(II)当时,不妨设的系数行列式不为零,把(4)可改写为
(5)
对任意取定的值,代入(5)可得唯一解,则x0为(5)的解,即为(1)的解。因为可任意取值(称为自由变量),故(1)有无穷多解。
定理2 (有解定理)线性方程组(1)有解的充分且必要条件是;且当时,有唯一解;当时,有无穷多解。
例1 判别线性方程组是否有解,

解:
因为,所以该线性方程组无解。
例2 解线性方程组
(1); (2)
解: (1) .
由阶梯形,,故有唯一解。由最简形得唯一解为。
。
(2) ,
因为< 4,所以方程组有无数解,其解为,
其中(自由变量)可以取任何值。
齐次线性方程组
知识点: 齐次方程组有非零解的充分必要条件. 基础解系及其通解的计算.
一、齐次线性方程组

矩阵形式: x =
向量形式:
齐次线性方程组必有零解(平凡解)。我们关心的是:是否有非零解(非平凡解)。
定理3 (1)当时,x =只有唯一零解; 反之也成立。
(2)当时,x =有无穷多解(即有非零解); 反之也成立。
推论3 齐次线性方程组在时,若其系数行列式D =0,则必有非零解。反之也成立(即Cramer法则).
证明因为D =0,则,由定理3知,该齐次线性方程组必有非零解。■
二、齐次线性方程组解的性质
性质1 如果分别是x =的解向量,则也是x =的解向量。
性质2 如果是x =的解向量,则对任意也是x =的解向量。
故x =的解向量全体构成了维向量空间的一个子空间,称为x =的解空间。
三、齐次线性方程组的基础解系
定义1 设分别是x =的非零解,并且满足
(1) 线性无关;
(2) x =的任一个解都可由线性表示;
则称为x =的一个基础解系。
事实上x =的基础解系就是x =解空间的一组基。因此若基础解系为,则其线性组合全体构成了x =全部解。故其解的一般形式可写成
。
我们称其为x =的通解。
当时,x =只有唯一零解,即解空间。故无基础解系。
当时,x =有无穷多解,即解空间。从而x =有基础解系。
定理4 对于n元齐次线性方程组x =,如果,则x =必有基础解系,且任一个基础解系中必有个解向量。
证明因为,不妨设A的前r个列向量线性无关,于是,A的行最简形为,
.
B对应的方程组(与原方程组同解)为
(6)
任意取定的一组值,可唯一确定(6)的一组解,也就是原方程组的一组解。现分别取的组值,
由(6),依次可得
从而得到(6)(也就是原方程组)的个解,记为
下面证明是原方程组的一个基础解系。
首先,因为线性无关,添加分量后也是线性无关的;
其次,设原方程组的任意解为,它也是(6)的一个解。
考虑向量
,
是(6)的一个解。由于(6)的任一个解的前个坐标由后个坐标唯一确定,而与的后个坐标相等,所以与的前个坐标也相等,即
。
从而方程组的任一个解可由线性表示,即是原方程组的一个基础解系。■
由定理的证明过程可知,x的基础解系不唯一(这表现在可取不同的值)。
当时,x的任意个线性无关的解向量都是它的一个基础解系。
例3 求下列齐次线性方程组的一个基础解系:
解
,基础解系含有个解向量。同解方程组为.
取的值分别为,可得方程组的