文档介绍：第五章
数值微积分
数值积分
Newton-Leibniz 公式
r b
f (x)dx = F (b) — 尸(〃).
实际问题中的局限性：
1)F(x)非常复杂
2)没有初等函数形式的F(x)匚二＞数值积分
3)函数由离散数据组成

由定积分的定义，〃
其中,
a = x0<xl<...<xn=b,/^ci =xi-xi_1.
b
fMdx =
a
几
f(x)dx = £ A,./(斗)+ R⑺-
i=0
机械求积法：节点处函数值的线性组合作为积分近似值
两个问题：
1）求积系数如何选取？
2）若求积节点可以自由选取，取哪些节点好?
求积公式的代数精度
定义:若求积公式对一切不高于m次的多项式都准确成步，而对于至少一个m+1次多项式等号不成分，则称此公式的代数精度为m.
代数精度的求法:
/（x）=i,x,x2,x3,...,验证求积公式是黑藕鬻一个不成立的等式是X%则其代
例1：确定如下求积公式的待定系数A。、Aj A2,
使其代数精度尽可能高。
j {x}dx ~ Aof (—1) + \ f (0) + A?/。).
解:
4=1/3 A1=4 / 3 . 4=1/3
取 f(x)=1, X, X2,有
Ao + A + - 2
JL
< —An + = 0
VZ
An + A? =2/3
u 乙
则 P f(x)dx = [/(-1) + 4x f(0)+ f (l)]/3.
取捡曰3,左=右二。，
但 f（x）=x4时，左二j/x4dx=2/5 w 右=2/3, 所以求积公式具有3次代数精度。
例2：选择常数a,使如下求积公式代数精度尽量高:
Johf(x)dx = h[f(O) +/(h)]/2 + ah2[f(O)-f' (h)].
解：f (x)=1,左=h=h (1+1) /2=右；
mf(x)=x, £=h2/2=h (0+h) /2=右；
f(x)=x2,左=h3/3,
右力(0+h2) / 2+ ah2 (-2h) = h3/2-2ah3, 令 h3/2・2ah3/3/3, Ma =1/12.
m f(x)=x3,左也/4, ^=h(h3)/2+h2(-3h2)/12=h4/4； m f(x)=x4, *=h5/5, ^=h5/2+h2(-4h3)/12=h5/6,
左。右，所以a=1/12时，求积公式有3次代数精度。
Newton-Cotes求积公式
1、插值型求积公式
给定一组节点〃 =/ <%… < 力〃=。
构造n次Lagrange型插值多项式
k=0
八
其中4（X）= n（X 一勺）为n次Lagrange插值基函数,
j=u
j±k
则 /(x) = L〃(x) + R(x).
(/)，()〃(7) / 近似函数
=]：力 Mf^)dx =J[f-)/(%,).
z=° ► a
其中，A只与求积节点有关，与被积函数无关.
误差
cb pb
/(7)-/〃(/) = [ R,X^dx = \ ~~~~善①〃(x)dx.
Ja J” (H + 1)!
可以看出，至少n阶代数精度.