文档介绍：数值分析课件数值微积分
第1页，共73页，编辑于2022年，星期六
数值分析
第4章数值积分与数值微分
基本公式与一般概念
Newton-Cotes公式
复化求积公式
Romberg算法
高斯求积公式
数值微分，式中求积系数通过
插值基函数积分得出
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数值分析
Newton-Cotes公式是等距节点情况下的插值型求积公式。
公式的形式与Cotes系数
将积分区间[a,b]划分为n等分，步长，则n+1个等距节点
用n次Lagrange插值多项式
近似代替积分函数中的被积函数f(x),则插值型的求积公式可表示成
其中，系数称为Cotes系数，并满足关系
Newton-Cotes公式
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数值分析
当选定n后，计算出系数后代入多项式即可。
例如，当，则
求积公式即为梯形公式
当n=2时，则
求积公式即为Simpson公式
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数值分析
当n=4时，则可得出
式中，
这个公式称为Cotes公式。
为了便于应用，将Cotes系数列表如下：
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数值分析
n
1
2
3
4
5
6
7
8
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数值分析
注意
对于每个固定的n, n+1个Cotes系数成对称形式，且各系数之和等于1；
又Cotes系数仅与节点有关，与被积函数f(x)无关；
一旦构造出求积公式，均可用公式Q[f]对I[f]做数值计算。
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数值分析
偶阶求积公式的代数精度
n=0时的梯形公式具有1次代数精度，
n=1时的矩形公式具有1次代数精度，
n=2时的Simpson公式却达到3次代数精度。
定理
当阶数n为偶数时的Newton-Cotes公式至少有n+1次代数精度。
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数值分析<br****题分别写出n=3, 5, 6时想要的Cotes公式。
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数值分析
复化求积公式
复化求积公式
由于高次插值多项式常常存在数值不稳定，为了克服这个问题，采用
了分段的低次插值。同样，高阶的Newton-Cotes公式也会引起数值不
稳定，这可采用复化的低阶公式来解决。
设将求积区间[a,b]分成n等分，步长为，分点为
我们在每个子区间上应用某种较低阶的求积公
式，计算出局部上的近似值，然后取n个区间上的总和
得出积分的近似值，上式就是复化求积公式。
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数值分析
为了得到复化梯形公式则要用到在每个小区间上用到端点
处的函数值。
为了得到复化Simpson公式则要用到在每个小区间上
用到中点处的函数值。
而复化Cotes公式则要用到在每个小区间上插入的3个
等分点处的函数值
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数值分析
设，将[a,b]分成n等分，步长。
记复化梯形公式、复化Simpson公式、复化Cotes公式分别为，则
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数值分析
例题已知函数的数据表如下：
将区间[0,1] 8等分，用复化求积公式T8，S4计算
的值。
0
1/8
1/4
3/8
1/2
1

5/8
3/4
7/8
1

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数值分析
解用T8计算
用S4计算，