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数列的极限
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数列的极限
设xn=f (n)是一个以自然数集为定义域的函数,将其函数值按自变量大小顺序排成一列,x1, x2,…xn, …, 称为一个数列. xn称为数列的第n项,也称为通项,数列也可表示为{xn}或xn=f (xn))例:
看数列1.
从直观上看,这个数列当n越来越大时, 对应的项xn会越来越接近于1,或者说“当n趋向于无穷大时, 数列xn趋近于1¢¢.如何用精确的, 量化的数学语言来刻划这一事实?
注意到,实数a, b的接近程度由| a-b |确定. | a-b |越小, 则a, , 要说明“当n越来越大时, xn越来越接近于1”就只须说明“当n越来越大时, |xn-1 |会越来越接近于0”.而要说明“|xn-1 |越来越接近于0”则只须说明“当n充分大时,| xn-1 |能够小于任意给定的, 无论多么小的正数e”就行了,也就是说无论你给一个多么小的正数e, 当n充分大时, | xn-1 | 比e还小,由于e是任意的,从而就说明了|xn-1| 会越来越接近于0.
事实上,,给很小, 要只须n>1000 即可, 也即在这个数列中,从第1001项开始,以后各项都有
又给:则从第10001项开始,以后各项都有,一般, 任给e >0, 不论多么小, 要使, 只须,因此, 从第项开始, 以后各项都有,因e是任意的, 这就说明了当n越来越大时, xn会越来越接近于1.
定义: 设{xn}是一个数列, a是一个常数, 若"e >0, $正整数N, 使得当n>N时, 都有|xn-a|<e,则称a是数列{xn}当n无限增大时的极限, 或称{xn}收敛于a, 记作:
这时, 也称{xn}的极限存在, 否则, 称{xn}的极限不存在, 或称{xn}是发散的.
比如, 对于刚才的数列1. 有,
注1. 定义中的e是预先给定的, 任意小的正数, 其任意性保证了xn可无限接近于a,另外, e又是确定的, 它不是变量.
注2. 一般说来, N随给定的e变化而变化, 给不同的e 确定的N也不同,另外, 对同一个e来说, N不是唯一的(若存在一个N, 则N+1, N+2, …, 均可作为定义中的N.)
“当n>N时, 有| xn-a |<e”的意思是说, 从第N+1项开始,以后各项都有|xn-a |<e,至于以前的项是否满足此式不必考虑. 可见一个数列是否有极限只与其后面的无穷多项有关. 而与前面的有限多项无关. 改变, 去掉数列的前有限项, 不改变数列收敛或发散的性质.
几何意义: 由于| xn-a |<e Û a-e <xn< a+e Û xnÎ(a -e, a +e)=U(a, e).因此, 所谓xn以a为极限, 就是对任何以a为心, 以任意小的正数 e 为半径的e 邻域,总能找到一个N, 从第N+1项开始, 以后各项都落在邻域 U(a, e ) 内,而只有有限项落在U(a, e).
例1. 若xn=c (常数), 则
证明:"e >0. 由于|xn–1|=|c – c|= 0,取N=1, 当n>N时, 有|xn–c |=0<e,故即常