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第五届“睿达杯”初中生数学能力竞赛(A卷)
九年级二试参考答案及评分标准
一、选择题(共10小题,每小题5分,共计50分)
题 号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答 案
D
A
C
B
C
D
A
B
D
A
(第2题)
提示:
1.由, 解得.
2.阴影部分与非阴影部分面积的比值为.
(第4题)
3.设,,则, 可得,其中与均为偶,故当最小为时,最大为108.
4.由题意,可以得到,则,故.
5.可得,则或或或 ,解得或.对应地,中位数为4或7.
6.由,得,平方得,,
整理得,,再平方整理得,,从而.
(第7题)
7.由≌,得、,则 四点共圆,四点共圆,则、,由角平分线定理,得
8. 原方程可化为,则的两根相等或一根为,求得,此时三根为1,1,3,不能构成三角形;或,此时三根为1,2,2.
(第9题)
9. 如图,不难求出=,五边形面积最大,即面积最小,即最小,又,则高最小为,此时所求面积为.
10. 由题意可得,,,
两式相减,得,于是.
二.填空题(共5小题,每小题8分,计40分)
题 号
11
12
13
14
15
答 案
2
6
9或56
(第12题)
提示:
11.设原式的值为,则,从而,解得.(舍)
12.不难确定,=2,依次递推并归纳得=4,…=2n,从而易得=.
13.由,得,
(第14题)
此时,又,可知、均小于0,
则.
14.连结,易得,又,则在筝形中,,即点在过且与成角的定直线上运动,由垂线段最短,得长度的最小值为.
15.(1)为奇数时: 由为偶数,知,
或,解得或,经检验;
(2)为偶数时:
① 为4的倍数时: ,,知或,解得或,经检验;
② 不为4的倍数时:,,,无正整数解.
综上,或.
三.解答题(本大题共3小题,每题20分,共60分)
16.(1) 因式分解,于是,,
由题意,得 则; (8分)
(2) 由已知,得为方程的根.
① 若,,由,得∠此时,; (4分)
② 若,,由,不能构成三角形,
舍去; (4分)
③ 若,,由,能构成三角形,
此时,. (4分)
综上,或.
17. (1) ① 如图1,由三角形全等或相似, 不难得到; (6分)
② 如图2,可确定△为等腰直角三角形,
从而,满足条件的最小圆形纸片⊙半径;