文档介绍：椭圆
典例剖析
知识点一　椭圆定义应用
　方程＋＝1表达焦点在y轴上椭圆，则m取值范畴是________．
解析：由于焦点在y轴上，因此16＋m>25－m，即m>，又由于b2＝25－m>0，故m<25，因此m取值范畴为<m<：<m<25

知识点二　求椭圆原则方程
　求适合下列条件椭圆原则方程：
(1)两个焦点坐标分别是(－4,0)和(4,0)，且椭圆通过点(5,0)．
(2)通过点A(，)，B(0，－)．
(1)解　办法一　椭圆焦点在x轴上，
设其原则方程为＋＝1(a>b>0)．
由椭圆定义知：2a＝＋＝10，
因此a＝5.
又c＝4，因此b2＝a2－c2＝25－16＝9.
故椭圆原则方程为＋＝1.
办法二　设椭圆原则方程为＋＝1(a>b>0)，
由于c＝4，因此a2－b2＝c2＝(5,0)，因此＋＝1，因此
a2＝25，因此b2＝25－16＝9，因此椭圆原则方程为＋＝1.
(2)办法一　①当椭圆焦点在x轴上时，设原则方程为＋＝1(a>b>0)，
依题意有
解得又由于a>b，因此该方程组无解．
②当椭圆焦点在y轴上时，设原则方程为＋＝1(a>b>0)．
依题意有解得
因此方程为＋＝1.
综上知，所求椭圆原则方程为：＋＝1.
办法二　设所求椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，
依题意有
解得因此所求椭圆方程为5x2＋4y2＝1，
即其原则方程为＋＝1.
练****过点(－3,2)且与椭圆＋＝1有相似焦点椭圆原则方程是________．
解析：由于c2＝9－4＝5，因此设所求椭圆原则方程为＋＝(－3,2)在椭圆上知＋＝1，因此a2＝＋＝：＋＝1
知识点三　依照方程研究几何性质
　求椭圆25x2＋16y2＝400长轴、短轴、离心率、焦点坐标和顶点坐标．
解　将方程变形为＋＝1，得a＝5，b＝4，因此c＝＝10,2b＝8，离心率e＝＝，焦点坐标为(0，－3)，(0
,3)，顶点坐标为(0，－5)，(0,5)，(－4,0)，(4,0)．
知识点四　依照几何性质求方程
　求适合下列条件椭圆原则方程：
(1)长轴长是6，离心率是.
(2)在x轴上一种焦点，与短轴两个端点连线互相垂直，且焦距为6.
解　(1)设椭圆方程为
＋＝1(a>b>0)或＋＝1(a>b>0)．
由已知得2a＝6，a＝＝＝，∴c＝2.
∴b2＝a2－c2＝9－4＝5.
∴椭圆方程为＋＝1或＋＝1.
(2)设椭圆方程为 (a>b>0)．
如图所示，△A1FA2为一等腰直角三角形，OF为斜边A1A2中线(高)，且|OF|=c，|A1A2|=2b，
∴c=b=3，∴a2=b2+c2=18，故所求椭圆方程为,
知识点五　求椭圆离心率
　如图所示，F1，F2分别为椭圆左、右焦点，椭圆上点M横坐标等于右焦点横坐标，其纵坐标等于短半轴长
，求椭圆离心率．
解　办法一　设椭圆长半轴、短半轴、半焦距长分别为a，b， (c,0)，F2 (c,0)，M点坐标为(c， b)，则△MF1F2为直角三角形．在Rt△M F1F2中：
|F1F2|2+|MF2|2=|MF1|2，
即4c2+b2=|MF1|2.
而|MF1|+| MF2|=
整顿得3c2=3a2 2 ab.
又c2=a2 b2，因此3b=2a.
因此，
因此因此e=
知识点六　直线与椭圆位置关系问题
　当m取何值时，直线l：y＝x＋m与椭圆9x2＋16y2＝144相切、相交、相离．
解　由题意，得
①代入②，得9x2＋16(x＋m)2＝144，
化简，整顿，得25x2＋32mx＋16m2－144＝0，
Δ＝(32m)2－4×25×(16m2－144)＝－576m2＋14 400.
当Δ＝0时，得m＝±5，直线l与椭圆相切．
Δ>0时，得－5<m<5，直线l与椭圆相交．
当Δ<0时，得m<－5，或m>5，直线l与椭圆相离．
知识点七　中点弦问题
已知点P(4,2)是直线l被椭圆＋＝1所截得线段中点，求l方程．
解　设l与椭圆交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则有
两式相减，得kAB＝
＝－
＝－＝－.
∴l方程为：y－2＝－(x－4)，即x＋2y－8＝0.
考题赏析
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．(江西高考)设椭圆＋＝1(a>b>0)离心率为e＝，右焦点为F(c,0)，方程ax2＋bx－c＝0两个实根分别为x1