文档介绍：第 3 章辅导
控制系统典型的输入信号
1. 阶跃函数
阶跃函数的定义是
0, t 0
xr (t)
A, t 0
式中 A 为常数。 A 等于 1 的阶跃函数称为单位阶跃函数，如图所示。它表示为
xr(t)＝l(t) ，或 xr(t)=u(t)
单位阶跃函数的拉氏变换为
Xr(s)=L[1(t)]=1/s
在 t＝0 处的阶跃信号，相当于一个不变的信号突然加到系统上；对于恒值系统，相当
于给定值突然变化或者突然变化的扰动量；对于随动系统，相当于加一突变的给定位置信号。
2. 斜坡函数
这种函数的定义是
xr (t)
0, t 0
At, t 0
式中 A 为常数。该函数的拉氏变换是
2
Xr(s)=L[At]=A/s
这种函数相当于随动系统中加入一按恒速变化的位置信号，该恒速度为 A 。当 A＝l 时，
称为单位斜坡函数，如图所示。
1
3. 抛物线函数
如图所示，这种函数的定义是
0, t 0
xr (t )
A t
2
, t 0
式中 A 为常数。这种函数相当于随动系统中加入一按照恒加速变化的位置信号，该恒
加速度为 A 。抛物线函数的拉氏变换是
2 3
Xr(s)=L[At ]=2A/s
当 A＝1/2 时，称为单位抛物线函数，即 X r(s)=1/s
3。
4. 脉冲函数
这种函数的定义是
A
, 0 t ( 0)
xr (t)
0, t 0,t ( 0)
式中 A 为常数， ε为趋于零的正数。脉冲函数的拉氏变换是
Xr s) L lim
(
0
A
A
当 A＝1，ε→0 时，称为单位脉冲函数 δ(t)，如图所示。单位脉冲函数的面积等于 l，
即
2
(t )dt 1
在 t＝t0 处的单位脉冲函数用 δ(t-t0)来表示，它满足如下条件
幅值为无穷大、持续时间为零的脉冲纯属数学上的假设，但在系统分析中却很有用处。
单位脉冲函数 δ(t)可认为是在间断点上单位阶跃函数对时间的导数，即
反之，单位脉冲函数 δ(t)的积分就是单位阶跃函数。
控制系统的时域性能指标
对控制系统的一般要求归纳为稳、准、快。工程上为了定量评价系统性能好坏，必须给
出控制系统的性能指标的准确定义和定量计算方法。
1 动态性能指标
动态性能指标通常有如下几项：
延迟时间
t 阶跃响应第一次达到终值 h( ) 的 50％所需的时间。
d
上升时间
t 阶跃响应从终值的 10％上升到终值的 90％所需的时间；对有振荡的系统，
r
也可定义为从 0 到第一次达到终值所需的时间。
峰值时间 t p 阶跃响应越过稳态值 h( ) 达到第一个峰值所需的时间。
调节时间
t 阶跃响到达并保持在终值 h( ) 5％误差带内所需的最短时间；有时也用
s
终值的 2 ％误差带来定义调节时间。
超调量％峰值 h(t ) 超出终值 h( )的百分比，即
p
h(t p ) h( )
％ 100
h( )
％
在上述动态性能指标中，工程上最常用的是调节时间 ts （描述 “快”），超调量％（描
述“匀”）以及峰值时间 t p 。
2 稳态性能指标
稳态误差是时间趋于无穷时系统实际输出与理想输出之间的误差，是系统控制精度或抗
干扰能力的一种度量。稳态误差有不同定义，通常在典型输入下进行测定或计算。
3
一阶系统的阶跃响应
一. 一阶系统的数学模型
由一阶微分方程描述的系统，称为一阶系统。一些控制元部件及简单系统如 RC 网络、
发电机、空气加热器、液面控制系统等都是一阶系统。
因为单位阶跃函数的拉氏变换为 R(s)=1/s，故输出的拉氏变换式为
C (s) (s) R( s)
1
Ts
1
1
s
1
s
T
Ts
1
取 C(s)的拉氏反变换得
c(t) 1 e
1
T
t
或写成
c(t)
css c
tt
式中， css=1，代表稳态分量；
ctt e
1
T
t
代表暂态分量。当时间 t 趋于无穷，暂态分
量衰减为零。显然，一阶系统的单位阶跃响应曲线是一条由零开始，按指数规律上升并最终
趋于 1 的曲线，如图所示。响应曲线具有非振荡特征，故又称为非周期响应。
一阶系统的单位阶跃响应
二阶系统的阶跃响应
典型二阶系统方框图，其闭环传递函数为：
s
C s K / s(T s 1) K
v m v
2
R s 1 K / s(T s 1)