文档介绍：第三章
平面问题的有限元法
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引言
经典解法（解析法） 水坝
用微元（大小趋于零）研究连续体（无穷自由度）得
到一组偏微分方程组。
有限元法（数值法）
用有限个单元离散连续体（有限个自由度）得到一组
代数方程组。
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平面问题的基本单元
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3-1、三角形单元（CST）单元分析
步骤1:选择单元类型
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1、每个节点有两个平移的自由度，共有6个自由度。
2、节点处是铰接，不传递力矩。
单元分析目的：建立单元节点位移和单元节点力的关系。
e T
{}δ = [ui vi u j v j um vm ]
{}F e = [F F F F F F ]T
xi yi xj yj xm ym 5
节点 内部各
应变
位移 点位移 应力 节点力
单元分析
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步骤 选择位移函数
2: 节点位移 内部位移
设单元内位移为
u(x, y) =αα +α x +α y
1 α2 3
v(x, y) = 4 + 5 x +α6 y
在单元节点处有
u(x , y ) = u
i i i v(xi , yi ) = vi
u(x , y ) = u
j j j v(x j , y j ) = v j
u(x , y ) = u
m m m v(xm , ym ) = vm
代入上式,得
α v =αα +α x +α y
ui = α1 +αα 2 xi +α3 yi i 4 α 5 i 6 i
α α
u = α + x + y v j = α4 + 5 x j + 6 y j
j 1 α2 j 3 j α
v = + x +α y
um = 1 + 2 xm +α3 ym m 4 5 m 6 m
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最终确定六个待定系数
α ⎡⎤aa a v
⎧⎫α1 ⎡⎤aaijm a ⎧⎫ u i ⎧ 4 ⎫⎧⎫ijmi
⎪⎪1 ⎢⎥ ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪1 ⎢⎥
⎨⎬α2 = bbijm b ⎨⎬ u j ⎨ α5 ⎬⎨⎬= bbijm b v j
2A ⎢⎥ 2A ⎢⎥
⎪⎪⎢⎥ ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎢⎥cc c v
⎩⎭3α ⎣⎦ccijmm c ⎩⎭ u ⎩⎭6α