文档介绍：第八章 小波分析及应用
８。1 引言
ﻩ把函数分解成一系列简单基函数的表示,无论是在理论上,还是实际应用中都有重要意义。
182２年法国数学家傅里叶（J. Fｏuriｅr １７6８—183０)发表的研究热传导理论的“热的力学分析”，提出并证明了将周期函数展开为正弦级数的原理,奠定了傅里叶级数理论的基础[1]。傅里叶级数理论研究的是把函数在三角函数系下的展开，使得对信号和系统的研究归结为对简单的三角函数的研究。傅里叶级数与傅里叶变换共同组成了平常所说的傅里叶分析[2］。傅里叶级数用于分析周期性的函数或分布，理论分析时经常假定周期是,定义如式(８。1—1)、(—2）
， （－1)
其中 (８．1—2)
然而,被分析函数的性质并不能完整地由傅里叶系数来刻划，这里有一个例子来说明［3］：从任一个平方可和的函数出发，为了得到一个连续函数,只需或者增大f（ｘ)的傅里叶系数的模,或者保持它不变并适当地改变系数的位相。因此，不可能仅根据傅里叶系数大小的阶就预知函数的性质（如大小、正则性）。
傅里叶变换的定义如式（8．1-3）、(－4）
（8。1－3)
（—４)
ﻩ通过引入广义函数或分布的概念，可获得奇异函数（如冲击函数），在频域将表现为冲击函数,表明具有很好的频域局部化性质。由式(-3)可知，为了得到,必须有关于f(x）的过去和未来的所有知识，而且f（x)在时域局部值的变化会扩散到整个频域，也就是的任意有限区域的信息都不足以确定任意小区域的f(x)。在时域，哈尔（Haar)基是一组具有最好的时域分辨能力的正交基,它在时域上是完全局部化的，但在频域的局部化却很不好,这是由于哈尔系的两个缺点：缺乏正则性与缺乏振动性。研究者们希望寻找关于空间变量（或时间变量）与频域变量都同时好的希尔伯特（Hilbert）基，R。 Baliａｎ认为：“在通讯理论中，人们对于在完全给定的时间内，,有用的信息常常同时被发射信号的频率与信号的时间结构（如音乐)所传递。当把一个信号表达成时间的函数时,其中的频谱表现并不好;相反地,，并用一个离散的刻划来表示，以适应通讯理论
［3]。”
为此，人们提出了短时傅里叶变换（STFT)的概念：
定义8．1-１ 若选择得使W与它的傅里叶变换满足:
那么使用W作为窗函数,在式(－５）中引入的窗口傅里叶变换称为“短时傅里叶变换”(ＳTFT）：
(8。1—5）
当窗函数选择为高斯（Gaｕssｉａn）函数时,则为Gaｂｏr变换[2]。
ﻩSTFＴ的缺点是分析窗的大小和形状是恒定的。因为频率与周期成反比,所以反映信号的高频成份需要窄的时间窗，而反映信号的低频成份需要宽的时间窗，STFT无法满足要求，此外,STＦＴ的冗余很大,增加了不必要的计算量。
ﻩ小波变换作为能随频率的变化自动调整分析窗大小的分析工具,自八十处代中期以来得到了迅猛的发展，并在信号处理、计算机视觉、图像处理、语音分析与合成等众多的领域得到应用。
ﻩ小波分析方法的出现可以追溯到1910年Hａar提出Haａｒ规范正交基，以及1938年Lｉttlewood—Pａleｙ对傅里叶级数建立的L—P理论。为克服传统傅里叶分析的不足，在八十年代初，便有科学家使用“小波"的概念来进行数据处理，。 Coiｆmaｎ和G。 Weiss创立的“原子”和“分子”学说，这些“原子”和“分子”构成了不同函数空间的基的组成部分。L. Ｃａrleron使用了非常象“小波”的函数构造了Ｓｔein和Ｗeｉｓｓ的空间的无条件基。直到１9８６年,法国数学家Meyｅr成功地构造出了具有一定衰减性的光滑函数,它的二进伸缩与平移构成的规范正交基。此前，人们普遍认为这是不可能的,如Dauｂｅchies，Groｓｓmａn和Meｙeｒ都退而研究函数系构成的框架的条件去了。
Lemａrｉe和Ｂattｌe继Meyer之后也分别独立地给出了具有指数衰减的小波函数。１９87年，Ｍallaｔ利用多分辨分析的概念，统