文档介绍：曲率及其曲率半径的计算曲率半径计算
曲率及其曲率半径的计算曲率半径计算曲率及其曲率半径的计算曲率半径计算一、弧微分 s 的绝对值等于这弧段的长度，当有向弧段的方向与曲线的
正向一致时s>0，相反时s<0．s>0s<0 显然，弧 s 是 x 的函数：ss(x)，而且s(x)是x的单调增加函
数．
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一、弧微分
s 的绝对值等于这弧段的长度，当有向弧段的方向与曲线的
正向一致时s>0，相反时s<0．
有向弧段的值 s(简称为弧s) ：
M
M0
(
x
y
O
M0
x0
M
x
s>0
x
y
O
M0
x0
M
x
s<0
显然，弧 s 是 x 的函数：ss(x)，而且s(x)是x的单调增加函
数．
设x ， x+ Dx 为(a，b)内两个邻近的点，它们在曲线
yf(x)上的对应点为M，M，并设对应于x的增量Dx ，弧 s 的增
量为Ds，于是
下面来求s(x)的导数及微分．
M0
M
M 
x0
x
x+Dx
Dx
Dy
x
y
O
Ds
1，
因为
因此
由于ss(x)是单调增加函数，从而
于是 ds 
这就是弧微分公式．
) j
M1
M2
N1
N2
观察曲线的弯曲线程度与切线的关系：
二、曲率及其计算公式
可以用单位弧段上切线转过的角度的大小来表达弧段的平均
弯曲程度，
M0
M
M 
Ds
Da
x
y
O
a+Da
)
a
)
s
C
设曲线C是光滑的，曲线
线C上从点M 到点M 的弧
为Ds ，切线的转角为Da ．
平均曲率：
曲率：
曲率的计算公式：
设曲线的直角坐标方程是yf(x)，且f(x)具有二阶导数．
于是
从而，有
因为tan a y  ，所以
例1 计算等双曲线x y 1在点(1，1)处的曲率．
解
因此，y|x11，y|x12．
曲线x y 1在点(1，1)处的曲率为
例2 抛物线yax2bxc 上哪一点处的曲率最大？
解由yax2bxc，得 y2axb ，y2a ，
代入曲率公式，得
要使K 最大，只须2axb0，
抛物线的顶点．因此，抛物线在顶点处的曲率最大，最大曲率为
K|2a| ．
对应的点为
2．若曲线由参数方程
给出，那么曲率如何计算？
1．直线上任一点的曲率等于什么？
讨论：
提示：设直线方程为y=ax+b，则y =a， y = 0．于是
提示：
．