文档介绍：伴随矩阵法求逆矩阵 1 一、方阵的行列式一、方阵的行列式定理设为阶方阵, BA、BA AB ? BA ABBA AB???很明显推论设都为阶方阵,那么 n nAAA,,, 21?. 21 21n nAAAAAA??? 2 定义行列式的各个元素的代数余子式所构成的如下矩阵 A ijA???????????????? nn nn n nAAA AAA AAAA??????? 21 222 12 121 3 二、伴随矩阵与逆矩阵二、伴随矩阵与逆矩阵,???????????????A A A AOO ??????????????????????????????? nn nn n n nn nn n nAAA AAA AAAaaa aaa aaa AA?????????????? 21 2 22 12 1 21 11 21 2 22 21 1 12 11AAaAaAa nn???? 1112 12 11 11?AAaAaAa nn nn nnnn????? 2211 AA ????证明 0 2122 12 12 11???? nnAaAaAa?故 EA AA ??同理可得 EA AA ??4 定理 1矩阵可逆的充要条件是,且, 1 1???AA A A 0?A. 的伴随矩阵为矩阵其中 AA ?5EAAA AA ????,EAA AA AA?????. 1A AA ???按逆矩阵的定义得证毕证明若可逆, AA A???11使即有,1 1?????A 所以,0时当?A 6 .,0 ,,0 称为非奇异矩阵时当称为奇异矩阵时当AA AA??奇异矩阵与非奇异矩阵的定义. 非奇异矩阵为是可逆阵的充要条件是由此可得 A A 7,1???EBA ,0?A故, 1 存在因而?A 于是 EB B??? BAA 1???? AB A 1??证毕??. 1????ABE BA E AB Bn nA ,则或使, 阶方阵阶方阵,如果存在是设推论 1证明 EA 1?? 1??A 8 推论 2 ., 11 ???AA A 则有可逆若证明 E AA ??1?1 1??? 11 ???因此推论 3设为阶方阵,若不可逆, 那么都不可逆. BA、 BA AB 、 An 证明不可逆, 因为 A ,0?A故 BA AB ?.0?因此. 也不可逆所以 AB 9,331 212 321???????????A. 11 51 531 132??????????????B 解331 212 321?A . ?, 法求逆矩阵若可逆,用伴随矩阵是否可逆下列矩阵 BA例4?,0?.A 可逆所以 10