文档介绍：例谈平面图形的翻折问题
湖南省浏阳市教育局教研室朱保仓
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将平面图形翻折成空间图形,既是实际应用问题的需要,又具有考察学生空间想象能力、逻辑推理、数学实践、综合分析问题能力的功能,因此,它是高考中的一种常见题型。下面结合几道例题来说明这类问题的解决方法。
例1 如图1,在正三角形ABC中,D,E,F分别为各边的中点,G,H,I,J分别为AF,AD,BE,DE的中点,将沿DE,EF,DF折成三棱锥以后,GH与IJ所成角的度数为
A、 B、 C、 D、
解:将沿DE,EF,DF折成的三棱锥如图2所示,GH与IJ为一对异面直线,由已知易得:∥∥,所以,即为所求,即GH与IJ所成角的度数为.
评注:1、本题通过对翻折问题处理空间直线与直线的位置关系,从识图、想图、画图的过程的角度考查了空间想象能力。而对空间图形的处理能力是空间想象力深化的标志,是高考从深层次上考查空间想象能力的主要方向。
2、解决本题的关键有二:一是正确画出翻折后的空间图形(三棱锥),二是抓住其中的一些不变关系和不变量(IJ与BD的平行关系及GH与DF的平行关系在翻折前和翻折后不变,在翻折前和翻折后都等于)。
例2 如图3,内接于直角梯形沿AB、BC、CA分别将,翻折上去,使得重合于一点P,构成一个三棱锥。
求证:PB⊥AC;
若,求三棱锥的体积。
解:(1)∵在直角梯形中有:,
∴在三棱锥中有:,
故.
(2)∵翻折后使得重合于一点P,
∴B为的中点,C为的中点,且,
∴.
作AE⊥于E,则
∴,
∴,
∴E为的中点,从而,
∴三棱锥的体积
.
评注:1、根据图形翻折后满足的条件来确定相关点(B、C、、E)所在的位置)及有关线段()的长度;
2、一般地,在翻折过程中,始终位于同一个平面内的点线之间的位置关系和数量关系不变,否则将可能发生改变;必要时,可将纸片翻折,体验其过程。
例3 如图4-1,已知ABCD是上、下底边长分别为2和6,高为的等腰梯形,将它沿对称轴OO1折成直二面角,如图4-2。
(Ⅰ)证明:AC⊥BO1;
(Ⅱ)求二面角O-AC-O1的大小。
解:(1)证明:由题设知:,所以是折成的直二面角的平面角,即,从而平面,是在面内的射影。因为,从而,
由三垂线定理得。
(2)由(1)知,设,过点作于F,连结,则EF是在平面内的射影,由三垂线定理得.
所以